Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17. Минимальная и максимальная области прямой видимости ИСЗ с Земли

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 14 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Условие

Условие. Определите минимальное и максимальное значения доли поверхности Земли, расположенные в пределах прямой видимости для искусственного спутника Земли. Следует полагать, что минимальный радиус орбиты спутника равен 180 км, а максимальный – радиусу сферы Хилла системы «Земля-Солнце». Все необходимые данные возьмите из специализированной литературы. (14 баллов).

Отговори

Решение

Голубой шар (Земля) с центром C и экватором (штриховой эллипс); слева красная точка S (спутник) на штрихпунктирной круговой орбите; из S проведены касательные к шару в точках B (сверху) и F (снизу), отрезки к точкам A, D, E на поверхности; обозначены высота h (от S до A) и радиус ℜ⊕ (от C к E); из C проведены отрезки CB и CF, образующие конус BEFDC. — Рис. 14: к определения зоны прямой видимости ИСЗ.

Решение: рассмотрим ИСЗ, движущийся вокруг Земли по круговой орбите (см. рис. 14) радиуса $r = \mathfrak{R}_{\oplus} + h$ , здесь $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, $h$ – высота орбиты спутника. В данный момент времени ИСЗ (при условии ясной погоды) видно с любой точки части поверхности Земли, определяемой шаровым сектором $ABEFD$ . Отношение ( $\eta$ ) площади данного сектора к площади поверхности всего земного шара есть искомая величина:

\eta = \frac{S_{\mathrm{sector}}}{S_{\mathrm{sphere}}}. \qquad (17)

Можно показать[^1], что площадь поверхности шарового сектора радиуса $\mathfrak{R}_{\oplus}$ и площадь поверхности сферы представляются в виде:

S_{\mathrm{sector}} = 2\pi\mathfrak{R}_{\oplus}^2(1 - \cos\alpha), \ \ S_{\mathrm{sphere}} = 4\pi\mathfrak{R}_{\oplus}^2, \qquad (18)

здесь $\alpha$ – угол раствора конуса $BEFDC$ , на который опирается шаровой сектор (см. рис. 14).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta SBC$ , для него, очевидно, выполняется следующее равенство:

\cos\alpha = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\oplus} + h}.

С использованием выражений (17), (18) и последней формулы получаем:

\eta = \frac{1}{2}\left[\frac{h}{\mathfrak{R}_{\oplus} + h}\right]. \qquad (19)

Т.о. чем больше высота спутника, тем ближе искомая величина $\eta$ к значению $1/2$ . Следовательно, минимальное значение $\eta_{\min}$ достигается при $h_{\min} = 180$ км:

\eta_{\min} = \frac{1}{2}\left[\frac{h_{\min}}{\mathfrak{R}_{\oplus} + h_{\min}}\right] = 0.0137.

Т.о. минимальная доля поверхности Земли, находящаяся в пределах прямой видимости составляет всего 1.37%. Максимальная доля поверхности Земли будет определяться максимально допустимой высотой орбиты спутника – которая, в свою очередь, будет определяться радиусом сферы Хилла.

Сферой Хилла Земли называют воображаемую поверхность, охватывающую Землю, в каждой точке которой для ИСЗ с нулевой скоростью его полная механическая энергия равна нулю. Выход ИСЗ за пределы данной сферы означает, что последний перестает быть, в принципе, спутником Земли. Можно показать, что радиус сферы Хилла Земли в системе "Солнце-Земля" представляется в виде [^2]:

R_{\mathrm{Hill}}^{(\oplus)} \approx a_{\oplus} \cdot \left[\left(\frac{\mu}{3}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}\left(\frac{\mu}{3}\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{9}\left(\frac{\mu}{3}\right)\right] \approx 0.01 \cdot a_{\oplus}, \qquad (20)

\text{где} \ \ \mu = \frac{\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{M}_{\odot}} = 3.00 \cdot 10^{-6}.

Поскольку радиус сферы Хилла отсчитывается от центра Земли, то $h_{\max} = R_{\mathrm{Hill}}^{(\oplus)} - \mathfrak{R}_{\oplus}$ , тогда

\eta_{\max} = \frac{1}{2}\left[\frac{R_{\mathrm{Hill}}^{(\oplus)} - \mathfrak{R}_{\oplus}}{R_{\mathrm{Hill}}^{(\oplus)}}\right] \approx \frac{1}{2}\left[1 - \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{0.01 \cdot a_{\oplus}}\right] = 0.4979.

Ответ: $\eta_{\min} = 0.0137$ , $\eta_{\max} = 0.4979$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

[^1]: Смотри, например, Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: ACT: Астрель. – 2006. – 991с.

[^2]: Смотри, например, Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. – М.: Наука. – 1968. – 800с.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf