Съдържание

Условие Отговори Решение A.1. Основные физические и астрономические постоянные A.2. Данные о Солнце A.3. Данные о Земле A.4. Данные о Луне A.5. Формулы приближенного вычисления A.6. Характеристики орбит планет A.7. Физические характеристики Солнца и планет A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Самара 2017, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. «Топ-13 ближайших к Солнцу звезд и гравитационная граница Солнечной системы»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 14 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов заочного тура № 1». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 1 на проверку: 10.10.2016-15.12.2016!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья! (методические указания)

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Условие

Условие. В таблице 2 Вашему вниманию представлены Топ-13 ближайших к Солнцу звезд, расположенных в пределах сферы радиусом 10.6 св. лет, с центром, совпадающим с центром Солнечной системы. Определите какая из 13 ближайших звезд определяет гравитационную границу Солнечной системы. Последняя определяется минимальным значением радиуса сферы Хилла. Чему равен радиус такой сферы? (14 баллов).

Звезда	Сп. класс	$M$ , $^m$	$\alpha$	$\delta$	r, св. год	$\mathfrak{M}$ , $\mathfrak{M}_{\odot}$
Проксима Центавра	M5.5Ve	15.53	$14^h29^m43.0^s$	$-62^{\circ}40'46''$	4.2421	0.123
$\alpha$ Центавра A	G2V	4.38	$14^h39^m36.5^s$	$60^{\circ}50'02''$	4.3650	1.10
$\alpha$ Центавра B	K1V	5.71	$14^h39^m35.1^s$	$-60^{\circ}50'14''$	4.3650	0.90
Звезда Барнарда	M4Ve	13.22	$17^h57^m48.5^s$	$+04^{\circ}41'36''$	5.9630	0.17
Вольф 359	M6V	16.55	$10^h56^m29.2^s$	$+07^{\circ}00'53''$	7.7825	0.11
Лаланд 21185	M2V	10.44	$11^h03^m20.1^s$	$+35^{\circ}58'12''$	8.2905	0.46
Сириус A	A1V	1.47	$06^h45^m08.9^s$	$-16^{\circ}42'58'$	8.5828	2.02
Сириус B	DA2	11.34	$06^h45^m08.9^s$	$-16^{\circ}42'58'$	8.5828	0.978
Лейтен 726-8 A	M5.5Ve	14.92	$01^h39^m01.3^s$	$-17^{\circ}57'01''$	8.7280	0.10
Лейтен 726-8 B	M6.0Ve	15.37	$01^h39^m01.3^s$	$-17^{\circ}57'01''$	8.7280	0.10
Росс 154	M3.5Ve	13.07	$18^h49^m49.4^s$	$+23^{\circ}50'10''$	9.6813	0.17
Росс 248	M5.5Ve	14.79	$23^h41^m54.7^s$	$+44^{\circ}10'30''$	10.322	0.136
$\varepsilon$ Эридана	K2V	6.19	$03^h32^m55.8^s$	$09^{\circ}27'30''$	10.522	0.82

Таблица 2: Данные наблюдений для ближайших 13 звезд ( $^{\star}$ – здесь расстояние указано в св. минутах).

Отговори

Решение

Решение. В небесной механике и космонавтике часто используют такое понятие как гравитационная сфера. Для ее определения необходимо, как минимум, рассмотреть три взаимно гравитирующих тела. Дадим определение этого понятия на примере системы «Солнце-планета-пробное тело».

Пусть пробное тело $T$ (спутник планеты) с массой $\mathfrak{M}_T$ движется в ньютоновском поле тел $P$ (планета) и $S$ (Солнце) с массами $\mathfrak{M}_P$ и $\mathfrak{M}_S$ соответственно (см. рис. 10). Все пространство возможных положений тела $T$ можно разбить на две части: область $V_P$ , где доминирует притяжение $P$ , и остальное пространство $V_S$ . Область $V_P$ называют гравитационной сферой $P$ по отношению к $S$ . Часто так же гравитационной сферой называют поверхность $\sigma$ , разделяющую пространства $V_P$ и $V_S$ , что не приводит к путанице.

Выберем декартову систему координат так как показано на рис. 10, а именно, ось X проведем через точки $S$ и $P$ , начало координат совместим с точкой $P$ . Ось $Y$ проведем в плоскости круговой орбиты $P$ в сторону ее движения, а ось Z (не показана на рисунке) направим к нам. В данной системе координат определим компоненты и модули выше указанных векторов:

\vec{r}_P = (r_P, 0, 0), \;\; \Delta\vec{r} = (x, y, z), \;\; \vec{r}_T = \vec{r}_P + \Delta\vec{r} = (r_P + x, y, z). \qquad (50)

|\vec{r}_P| = r_P, \;\; |\Delta\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \;\; |\vec{r}_T| = \sqrt{(r_P + x)^2 + y^2 + z^2}.

Из курса теоретической механики $^2$ известно, что система двух тел «Солнце-планета» (без учета влияния других тел Солнечной системы) движутся в пространстве относительно их общего центра масс по круговым орбитам, вся система равномерно вращается вокруг оси $Z$ с угловой скоростью $\omega$ , определяемой третьим законом Кеплера. При этом радиус окружности, которую описывает в своем движении точка $P$ вокруг центра масс есть $r_R \cdot \mathfrak{M}_S/(\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P)$ .

Движение тела $T$ в системе $XYZ$ вызывается силами притяжения к $S$ и $P$ , а также центробежной и кориолисовой силой инерции. Как известно, кориолисова сила не производит работы, а остальные три силы консервативны. Следовательно, должен выполняться закон сохранения механической энергии:

\frac{\mathfrak{M}_T \cdot V^2}{2} - \frac{G \cdot \mathfrak{M}_T \cdot \mathfrak{M}_S}{r_T} - \frac{G \cdot \mathfrak{M}_T \cdot \mathfrak{M}_P}{\Delta r} - \frac{\mathfrak{M}_T \cdot \omega^2}{2}\left(\left(\frac{\mathfrak{M}_S}{\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P}r_P + x\right)^2 + y^2\right) = -\frac{G(\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P)\mathfrak{M}_T}{2r_P}h, \qquad (51)

здесь $V$ — скорость тела $T$ , $h$ — безразмерная постоянная, называемая постоянной Якоби в честь получившего интеграл движения (51) немецкого ученого.

После сокращения на массу $\mathfrak{M}_T$ можно записать

\frac{V^2}{2} = \frac{G\mathfrak{M}_S}{r_T} + \frac{G\mathfrak{M}_P}{\Delta r} + \frac{\omega^2}{2}\left(\left(\frac{\mathfrak{M}_S}{\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P}r_P + x\right)^2 + y^2\right) - \frac{G(\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P)}{2r_P}h. \qquad (52)

Поскольку $V^2 \ge 0$ , то справа в (52) стоит величина, неотрицательная в любой момент времени движения. Часть пространства, определяемая неравенством вида

\frac{G\mathfrak{M}_S}{r_T} + \frac{G\mathfrak{M}_P}{\Delta r} + \frac{\omega^2}{2}\left(\left(\frac{\mathfrak{M}_S}{\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P}r_P + x\right)^2 + y^2\right) \ge \frac{G(\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P)}{2r_P}h.

называют областью возможных движений. Ее граница $\sigma$ задается соответствующим уравнением

\frac{G\mathfrak{M}_S}{r_T} + \frac{G\mathfrak{M}_P}{\Delta r} + \frac{\omega^2}{2}\left(\left(\frac{\mathfrak{M}_S}{\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P}r_P + x\right)^2 + y^2\right) = \frac{G(\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P)}{2r_P}h.

и называется поверхностью нулевой скорости или поверхностью Хилла в честь американского астронома и математика, который ввел это понятие.

Сферой Хилла называют поверхность нулевой скорости (гравитационную сферу), для которой полная механическая энергия тела $T$ равна нулю (т.е. постоянная $h = 0$ ). Выход тела $T$ за пределы данной сферы означает, что последний перестает быть, в принципе, спутником планеты $P$ . В данном случае последнее уравнение представляется в виде:

\frac{G\mathfrak{M}_S}{r_T} + \frac{G\mathfrak{M}_P}{\Delta r} + \frac{\omega^2}{2}\left(\left(\frac{\mathfrak{M}_S}{\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P}r_P + x\right)^2 + y^2\right) = 0, \qquad (53)

Учтем далее, что в плоскости $PXY$ : $\Delta r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $r_P \cdot x = r_P \cdot \Delta r \cdot \cos\varphi$ . Введем далее ряд вспомогательных обозначений:

\beta = \frac{\Delta r}{r_P} < 1, \;\; \mu = \frac{\mathfrak{M}_P}{\mathfrak{M}_S} \ll 1, \;\Rightarrow \frac{\omega^2 r_P^3}{G\mathfrak{M}_S} = 1 + \mu. \qquad (54)

Последний результат следует тривиальным образом из третьего обобщенного закона Кеплера:

(\mathfrak{M}_S + \mathfrak{M}_P) = \frac{\omega^2 r_P^3}{G}.

Уравнение (53) с учетом уравнения (54) можно представить в виде:

\frac{1}{\sqrt{1 + \beta^2 + 2\beta\cos\varphi}} + \frac{\mu}{\beta} + \frac{(1 + \mu)}{2}\left(\left(\frac{1}{1 + \mu}\right)^2 + \left(\frac{2}{1 + \mu}\right)\beta\cos\varphi + \beta^2\right) = 0.

Очевидно, что ближе всего поверхность Хилла располагается к планете на прямой $SP$ , поскольку на этой прямой располагается Солнце (и, следовательно, ближе всего к планете), самый сильный "конкурент" планеты, способный отобрать у нее спутник (это можно и строго доказать, исследуя левую часть последнего равенства на экстремум, как функцию двух переменных), следовательно, $\varphi = \pi$ , $\cos\varphi = -1$ .

\frac{1}{(1 - \beta)} + \frac{\mu}{\beta} + \frac{(1 + \mu)}{2}\left(\frac{1}{1 + \mu} - \beta\right)^2 = 0.

Продифференцируем последнее уравнение по переменной $\beta$ , в результате получим уравнение гравитационных и центробежной сил:

\frac{1}{(1 - \beta)^2} - \frac{\mu}{\beta^2} - (1 - (1 + \mu)\beta) = 0.

Разделим все уравнение на $(1 + \mu)$ . Введем параметр $\eta = \mu/(1 + \mu)$ , $\Rightarrow \mu = \frac{\eta}{1 - \eta}$ , тогда последнее уравнение можно переписать в виде:

\frac{(1 - \eta)}{(1 - \beta)^2} - \frac{\eta}{\beta^2} - (1 - \eta - \beta) = 0, \;\Rightarrow\; (1 - \eta)\beta^2 - \eta(1 - \beta)^2 = (1 - \eta - \beta)\,(1 - \beta)^2\beta^2,

в итоге

\beta^5 - (3 - \eta)\beta^4 + (3 - 2\eta)\beta^3 - \eta\beta^2 + 2\eta\beta - \eta = 0. \qquad (55)

интересующий нас корень $\beta$ уравнения принадлежит интервалу $0 < \beta < 1$ , его легко представить в виде бесконечного ряда разложения по параметру $\eta$ . Для этого представим уравнение (55) в удобном для разложения виде:

\beta^3 = \eta\left[\frac{1 - 2\beta + \beta^2 + 2\beta^3 - \beta^4}{3 - 3\beta + \beta^2}\right]. \qquad (56)

Правую часть последнего уравнения будем представлять функцией $f(\beta)$ . Данную функцию можно представить в виде бесконечного ряда (ряд Маклорена по переменной $\beta$ ):

f(\beta) = \eta\left[\frac{1 - 2\beta + \beta^2 + 2\beta^3 - \beta^4}{3 - 3\beta + \beta^2}\right] = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\beta^n = \frac{\eta}{3}\left[1 - \beta - \frac{2}{3}\beta^2 + 2\beta^3 + \mathcal{O}(\beta^4)\right]. \qquad (57)

Последний результат можно получить, например, с помощью системы Mathematica, (команда Series). Подставляя (57) в уравнение (56) и извлекая корень третьей степени из левой и правой части, в результате получаем:

\beta = \nu\left[1 - \frac{1}{3}\beta - \frac{2}{9}\beta^2 + \frac{2}{3}\beta^3 + \mathcal{O}(\beta^4)\right], \;\; \nu = \sqrt[3]{\frac{\eta}{3}}. \qquad (58)

При записи последнего мы учли, что $\beta \ll 1$ , тогда все слагаемые под корнем с ненулевой степенью по переменной $\beta$ есть малая величина, следовательно, можно воспользоваться биномиальным приближением $(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha \cdot x$ , при $x \ll 1$ . Решение полученного уравнения будем искать в виде бесконечного ряда (разложения по переменной $\nu \ll 1$ ):

\beta(\nu) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n\nu^n. \qquad (59)

Подставляя последний результат в (58) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра $\nu$ , в итоге получаем систему рекурсивных соотношений между параметрами:

b_0 = 0, \;\; b_1 = 1, \;\; b_2 = -\frac{1}{3}b_1, \;\; b_3 = -\frac{1}{3}b_2 - \frac{2}{9}b_1^2 = -\frac{1}{9}, \text{и т.д.} \Rightarrow

\beta(\nu) = \nu - \frac{1}{3}\nu^2 - \frac{1}{9}\nu^3 + \mathcal{O}(\nu^4). \qquad (60)

учитывая, что

\nu = \sqrt[3]{\frac{\eta}{3}} = \sqrt[3]{\frac{\mu}{3(1 + \mu)}} \approx \sqrt[3]{\frac{\mu}{3}}, \qquad (61)

следует иметь в виду, что все слагаемые, пропорциональные $\nu^n$ с $n > 3$ малы, при чем с ростом параметра $n$ (принимает значения из множества натуральных чисел) каждое последующее слагаемое существенно меньше предыдущего ( $\mu \ll 1$ ). Поэтому в качестве радиуса сферы Хилла традиционно принимают выражение, определяемое первыми тремя слагаемыми выражения (60), т.е. ограничиваемся линейным слагаемым по параметру $\mu$ :

R_{\mathrm{Hill}} \approx r_P \cdot \left[\left(\frac{\mu}{3}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}\left(\frac{\mu}{3}\right)^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{9}\left(\frac{\mu}{3}\right)\right]. \qquad (62)

В таблице 4 представлены значения сферы Хилла для 13 рассматриваемых ближайших звезд. Здесь $\mu = \frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathfrak{M}_*}$ , а также учтено, что $\alpha$ Центавра, Сириус, Лейтен 726-8 являются двойными, расстояние между которыми существенно меньше расстояния до Солнца и потому эти пары звезд можно рассматривать как одну. Из сравнения значений радиусов сферы Хилла следует, что минимальное значение радиуса сферы Хилла обусловлено гравитационным взаимодействием Солнечной системы с ближайшей двойной звездой – $\alpha$ Центавра. Полученное значение сферы Хилла идентично значению гравитационной границы Солнечной системы, представленному в научно-популярной литературе.

№	Звезда	r, св. год	$1/\mu$	$R_{\mathrm{Hill}}$ , св.л.
1	Проксима Центавра	4.2421	0.123	2.973
2	$\alpha$ Центавра	4.3650	2.00	1.874
3	Звезда Барнарда	5.9630	0.17	4.014
4	Вольф 359	7.7825	0.11	5.525
5	Лаланд 21185	8.2905	0.46	4.802
6	Сириус	8.5828	2.998	3.343
7	Лейтен 726-8	8.7280	0.20	5.749
8	Росс 154	9.6813	0.17	6.517
9	Росс 248	10.322	0.136	7.147
10	$\varepsilon$ Эридана	10.522	0.82	5.477

Таблица 4: значения радиусов сфер Хилла для Солнечной системы по отношению к указанным звездам.

Ответ: гравитационное взаимодействие Солнечной системы с ближайшей двойной звездой – $\alpha$ Центавра определяет ее гравитационную границу; $R_{\mathrm{Hill}} = 1.874$ св.г. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

$^2$ См. например, Маркеев А.П. Теоретическая механика: учебник для университетов. – Ижевск: изд-во РХД. – 2007.

Оси X и Y с началом в P; окружность σ, пересекающая ось X в точке E, центр O; Солнце S слева на оси X; векторы r_P (S→P), r_T (S→T) и Δr (P→T), угол φ между Δr и осью X. — Рис. 10: к определению гравитационной сферы.

Справочные данные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1} \cdot$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989{\cdot}10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-1]_10-11 classes.pdf