Самара 2017, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. «Космический лифт и запуск КА с помощью него»

• а) формула (66), рис. 11; б) формулы (70), (71), таблица 5; к верхним планетам запуск в истинную полночь, к нижним — в истинный полдень.

Решение:

а) рассмотрим вопрос об относительной экономии энергии (в процентах) при доставки груза на орбиту с помощью КЛ в сравнение с ракетным способом.

Ракетный способ доставки груза. В идеальном случае полезная работа, которую необходимо совершить для подъема полезного груза массы $\Delta m$ на стационарную орбиту радиуса $r$ в геоцентрической системе отсчета, запишется так:

или

Доставка груза с помощью КЛ. В идеальном случае полезная работа, которую необходимо совершить для подъема полезного груза массы $\Delta m$ на круговую стационарную орбиту, в геоцентрической системе, с помощью КЛ, тратится лишь на изменение его потенциальной энергии, ибо изменение кинетической энергии относительно лифта (а, следовательно, и Земли) не происходит – его геоцентрическая скорость автоматически возрастает вместе с капсулой КЛ по мере ее подъема, тогда

Следовательно, относительная экономия энергии при доставке груза есть

Большинство космических аппаратов имеют орбиты, радиусы которых принадлежат интервалу:

Следовательно

На рис. 11 представлена зависимость величины $\eta$ от радиуса стационарной орбиты $1/x$ (в радиусах Земли). Очевидно, чем чем меньше радиус (высота) орбиты, тем больше $\eta$. Так для самых низкоорбитальных спутников (с высотой орбиты 200 км), эта величина достигает $\eta_{\max} = 94.1\%$, для МКС (с высотой орбиты, равной 415 км) эта величина составляет $\eta = 88.5\%$, для геостационарной орбиты (с высотой 35786 км) $\eta = 8.0\%$. Т.о. экономия энергии с помощью КС весьма значительна.

б) определим искомые геоцентрические расстояния. Для этого вычислим геоцентрическое расстояние $r_c$, на котором геоцентрическая скорость капсулы КЛ равна второй космической скорости относительно центра Земли. Для это учтем, что скорость капсулы линейно возрастает с геоцентрическим расстоянием $r$:

При этом полная механическая энергия капсулы на данном расстоянии должна быть равна нулю:

Из выражений (67) и (68) следует, что

Т.о. для преодоления КА гравитационного притяжения Земли с помощью КЛ необходимо, чтобы трос последнего простирался до указанного геоцентрического расстояния.

Определим геоцентрическое расстояние $r_{\ell}$, отсчитываемое вдоль троса КЛ, при котором возможен перелет КА (после отстыковки от КЛ) от окрестности Земли (E) на орбиту верхней планеты (ExP, см. рис. 12.а) по дуге эллипса – орбите Гомана-Ветчинкина. Для этого будем полагать, что орбиты всех классических планет круговые, радиус которых равен их большой полуоси, а плоскости совпадают с плоскостью орбиты Земли.

Очевидно, гелиоцентрическая скорость КА $\vec{V}_{hc}$ будем максимальной в случае, когда гелиоцентрическая скорость Земли $\vec{V}_{\oplus}$ и вектор геоцентрической скорости КА $\vec{V}_{gc}$, находящегося на тросе КЛ, сонаправлены. В этом случае $V_{hc} = V_{\oplus} + V_{gc} > V^{(0)}_{hc}$, здесь $V^{(0)}_{hc}$ – гелиоцентрическая скорость тела, движущегося по круговой орбите радиуса $a_{\oplus} + r_{\ell}$ относительно Солнца. Тогда КА должен двигаться по эллипсу, перигелий ($P$) которого совпадает с точкой старта КА, а афелий ($A$) совпадает с точкой орбиты планеты, расположенной диаметрально противоположно к $P$ по отношению к Солнцу. Воспользуемся законами сохранения энергии и момента импульса (последние должны выполняться в центральном гравитационном поле Солнца):

з-н сох-ия мом-та импульса: $\Delta m\,(V_{\oplus} + V_{gc})a_{\oplus} = \Delta m\,V_A r_{\mathrm{ExP}}$,

з-н сох-ия энергии: $\frac{1}{2}\Delta m\,(V_{\oplus} + V_{gc})^2 - \frac{G\,\Delta m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a_{\oplus} + r_{\ell}} = \frac{1}{2}\Delta m\,V^2_A - \frac{G\,\Delta m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{r_{\mathrm{ExP}}}$.

Здесь $r_{\mathrm{ExP}}$ – радиус орбиты верхней планеты. Выражая из первого уравнения $V_A$ и подставляя его во второе уравнение, с учетом $a_{\oplus} = 1$ а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м $\gg r_{\ell}$, в итоге получаем

откуда

Для запуска КА к нижней планете Солнечной системы (с радиусом орбиты $r_{\mathrm{InP}}$), оптимальный вариантом запуска КА является ситуация, когда скорости $\vec{V}_{\oplus}$ и $\vec{V}_{gc}$ противоположно направлены (см. рис. 12.б). Рассуждая аналогично предыдущему случаю с учетом замены во всех выражениях

в итоге получаем

Таблица 5: Гелиоцентрическое расстояние ($r_p$) для классических и карликовых планет Солнечной системы и соответствующие значения геоцентрического расстояния $r_{\ell}$ для запуска КА с троса КЛ к соответствующему небесному телу, по эллиптической траектории Гомана-Ветчинкина.

В таблице 12 представлены вычисленные значения параметра $r_{\ell}$. Очевидно, что запуск КА к ближайшим классическим планетам Солнечной системы (к Венере и Марсу) может производиться с расстояний $r_{\ell} < r_g$ (из точек, расположенных ниже геостационарной орбиты). Однако, уже запуск КА к Меркурию или Юпитеру уж требует использования троса с длиной более 120 тыс км. А полеты КА к Урану, Нептуну, Плутону и Эриде требует использования сверхдлинного троса с $L = 148 \div 158$ тыс. км.

Важно отметить и принципиальное различие суточного времени запуска КА: в случае полета к верхней планете Солнечной системы запуск аппарата должен производиться в истинную полночь, когда КА находится по другую сторону от Солнца (см. рис. 12.а). В случае полета к нижней планете Солнечной системы запуск аппарата должен производиться в истинный полдень, когда КА находится на прямой соединяющей Солнце и Землю (см. рис. 12.б).

Ответ: а) (66), см. рис.11; б) (70), (71), см. таблицу 5; в случае полета КА к верхним планетам Солнечной системы его запуск должен производиться в истинную полночь, в случае полета к нижним – в истинный полдень. ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).