Самара 2017, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. «Высота приливного горба Луны»

• $\delta a_{\text{☾}} = 9.80$ м; $\delta a_{\text{☾}}/\delta a_{\oplus} = 36.4$ раза.

Решение. В теории приливного взаимодействия высоту приливного горба традиционно отождествляют с амплитудой статической деформации ($\delta a$). Вычислим данный параметр для поверхности Луны, обусловленный действием приливной силы Земли. Рассмотрим два альтернативных способа его вычисления.

Способ № 1. Энергетический подход. Рассмотрим гипотетическую ситуацию в отношении Луны: ради сокращения выкладок будем полагать, что спутник Земли не имеет осевого вращения, и потому, действующая на нее приливообразующая сила Земли практически не зависит от времени. В случае невращающейся Луны, полная потенциальная энергия пробного тела массы $m$ у поверхности спутника определяется суммой двух слагаемых: энергией поля силы тяжести Луны $U_g$ и энергией приливной силы Земли $U_t$:

здесь $U_t$ – потенциальная энергия приливного взаимодействия для пробного тела массы $m$, которая определяется (см. например, литературу$^1$) выражением вида:

здесь $r'$ – величина селеноцентрического радиус-вектора пробного тела (см. рис. 9), $\Delta_i$ – селеноцентрическое расстояние до приливообразующего тела, $\mathfrak{M}_i$ – его масса ( в нашем случае это Земля ($\oplus$)). $\theta$ – полярный угол, откладываемый от продолжения прямой "приливообразующее тело-Луна".

С использованием явного выражения для приливной силы можно легко убедиться в том, что последняя стремится растянуть сферическое тело Луны вдоль прямой "приливообразующее тело-Луна" и сдавить в направлениях, перпендикулярных к данному. В результате этого тело Луны приобретает форму слабо вытянутого эллипсоида, большая полуось которого равна $a_M = \mathfrak{R}_{\text{☾}} + \delta a_{\text{☾}}$, а малая полуось – $b_M = \mathfrak{R}_{\text{☾}} - \delta a_{\text{☾}}$, где $\mathfrak{R}_{\text{☾}}$ – радиус сферического, невозмущенного тела Луны; $\delta a_{\text{☾}}$ – амплитуда статической деформации поверхности Луны, обусловленной действием приливообразующей силы Земли.

Поскольку форма Луны в равновесном состоянии не меняется, то потенциальная энергия $U_{\text{tot}}$ во всех точках ее поверхности должна быть величиной постоянной. Следовательно, потенциальные энергии в ближайшей к Земле точке поверхности Луны (см. рис. 9) и в точке, лежащей на малой оси, перпендикулярной направлению "приливообразующее тело-Луна" равны между собой

В последнем выражении $a_{\text{☾}}$ – большая полуось лунной орбиты, определенной относительно центра Земли. Учитывая, что ускорение свободного падения на поверхности Луны есть

тогда амплитуда статической деформации поверхности Луны представляется в виде:

Аналогично рассуждая, можно определить амплитуду статической деформации поверхности Земли, обусловленную приливным действием Луны

В численных расчетах мы использовали значения параметров, взятые из раздела "Справочные данные". Следовательно, $\delta a_{\text{☾}}/\delta a_{\oplus} = 36.4$ раза.

Способ № 2. Динамический подход. Вновь рассмотрим гипотетическую ситуацию невращающейся Луны. При этом приливообразующая сила Земли практически не зависит от времени. В силу квадрупольной симметрии приливообразующих сил (это проявляется в появлении на поверхности Луны двух горбов и двух впадин $2 \times 2 = 4$ полюса) получается, что поверхность спутника Земли, испытывая статическое искажение, должна принимать форму слабо сплюснутого эллипсоида вращения, уравнение профиля которого в полярных координатах можно представить в виде:

Здесь $\delta a_{\text{☾}}$ – амплитуда статической деформации поверхности Луны, удовлетворяет условию $\delta a_{\text{☾}} \ll \mathfrak{R}_{\text{☾}}$; $\theta$ – полярный угол, определенный в предыдущем подходе. В соответствии с уравнением (43), поверхность Луны образует следующий угол с горизонтом:

Отсюда следует, что поверхность Земли горизонтальна (т.е. $\alpha = 0$) при $\theta = 0$ и при $\theta = 90^{\circ}$ (в точках $Z$ и $A$). Угол $\alpha$ максимален и равен $(2\delta a_{\text{☾}})/\mathfrak{R}_{\text{☾}}$ при $\theta = 45^{\circ}$ и при $\theta = 135^{\circ}$, где приливная сила имеет горизонтальное направление. В состоянии равновесия искаженная приливной силой лунная поверхность перпендикулярна линии отвеса. Линия отвеса направлена вдоль векторной суммы силы земного тяготения и приливной силы. Малое отклонение линии отвеса от направления на центр Земли вызвано горизонтальной составляющей ($F_{hor}$) приливной силы. Поэтому угол $\alpha$ равен отношению $F_{hor}$ к $F_{grav} = mg$. Можно показать (см. литературу$^1$), что горизонтальная составляющая приливной силы есть

Приравнивая $\alpha = 2\delta a_{\text{☾}}/\mathfrak{R}_{\text{☾}}$, при $\theta = 45^{\circ}$ к $F_{hor}/F_{grav}$, получаем для удвоенного значения амплитуды статической деформации поверхности $2\delta a_{\text{☾}}$ под действием приливообразующей силы Земли:

откуда следуют выражения (41), (42).

Ответ: $\delta a_{\text{☾}} = 9.80$ м; $\delta a_{\text{☾}}/\delta a_{\oplus} = 36.4$ раза. ($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).

$^1$Бутиков Е.И. Физика океанских приливов в компьютерных моделях. Учебное пособие и методические материалы к комплексу моделирующих программ. – С.-П.: СПбГУ. – 2007. – 16с.