Съдържание

Самара 2017, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. «Планеты-гиганты и спутник-"невидимка"»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2 · 10 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Условия задач

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Дорогие Друзья! (указание участникам)

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Решения задач

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Условие

Определите, какие планеты-гиганты Солнечной системы могут иметь спутник, движущийся по круговой орбите, который при наблюдении с Земли всегда располагается по другую сторону от Солнца относительно материнской планеты, и во время каждого противостояния последней скрывается от земного наблюдателя? При решении задачи может оказаться полезным понятие радиуса сферы Хилла для планеты «1» и его величина, определяемая выражением вида

R_{\text{Hill}} = \Delta_{1-2}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}\frac{\mathfrak{M}_1}{\mathfrak{M}_2}} - \frac{1}{3}\sqrt[3]{\left(\frac{1}{3}\frac{\mathfrak{M}_1}{\mathfrak{M}_2}\right)^2} - \frac{1}{9}\left(\frac{1}{3}\frac{\mathfrak{M}_1}{\mathfrak{M}_2}\right)\right),\ \text{при}\ \ \mathfrak{M}_1 \ll \mathfrak{M}_2. \qquad (1)

здесь $\Delta_{1-2}$ – расстояние между планетой 1 и массивным телом 2; $\mathfrak{M}_1, \mathfrak{M}_2$ – массы планеты и массивного тела. (10 баллов).

Отговори

Решение

Решение: Как известно, сфера Хилла – это гравитационная сфера небесного тела или поверхность нулевой скорости для пробного тела (движущегося вокруг данного небесного тела), на которой полная механическая энергия пробного тела равна нулю. Выход последнего за пределы данной сферы означает, что он перестает быть, в принципе, спутником данного небесного тела. Следовательно, если пробное тело является спутником классической планеты, то его орбита должна полностью располагаться внутри сферы Хилла.

Будем полагать, что плоскости орбит Земли, планеты-гиганта и ее спутника совпадают. Если спутник, движущийся по круговой орбите в прямом направлении, который при наблюдении с Земли всегда располагается по другую сторону от Солнца относительно материнской планеты, и во время каждого противостояния последней скрывается от земного наблюдателя, то его сидерический период обращения вокруг материнской планеты равен сидерическому периоду обращения Земли вокруг Солнца (см. рис. 10).

Действительно, противостояние планеты ( $P$ ) с Землей повторяются через синодический период $S_p$ , определяемый уравнением синодического движения (через сидерические периоды обращения планеты $T_p$ и Земли $T_{\oplus}$ вокруг Солнца):

\frac{1}{S_p} = \frac{1}{T_{\oplus}} - \frac{1}{T_p},\ \ \Rightarrow\ \ S_p = \frac{T_{\oplus}\,T_p}{T_p - T_{\oplus}} \qquad (45)

Данный период $S_p$ равен синодическому периоду спутника $S_s$ , также определяемому посредством аналогичного уравнения (в случае прямого движения спутника):

\frac{1}{S_s} = \frac{1}{T_s} - \frac{1}{T_p},\ \ \Rightarrow\ \ S_s = \frac{T_s \cdot T_p}{T_p - T_s} \qquad (46)

Откуда следует , что

T_p = T_{\oplus}.

Ретроградное движение спутника при таком условии задачи невозможно. Далее воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера:

\frac{(\mathfrak{M}_{\odot} + \mathfrak{M}_{\oplus}) \cdot T_{\oplus}^2}{(\mathfrak{M}_p + \mathfrak{M}_s) \cdot T_s^2} = \frac{a_{\oplus}^3}{a_s^3}, \qquad (47)

учитывая, что масса Земли ( $\mathfrak{M}_{\oplus}$ ) много меньше массы Солнца ( $\mathfrak{M}_{\odot}$ ), а масса спутника ( $\mathfrak{M}_s$ ) много меньше массы планеты ( $\mathfrak{M}_p$ ), то (47) можно переписать так:

\left(\frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathfrak{M}_p}\right)\left(\frac{T_{\oplus}^2}{T_s^2}\right) = \frac{a_{\oplus}^3}{a_s^3},\ \ \Rightarrow\ \ a_s = a_{\oplus}\left(\frac{\mathfrak{M}_p}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^{1/3}\left(\frac{T_s}{T_{\oplus}}\right)^{2/3}. \qquad (48)

В итоге значение радиуса круговой орбиты представляются в виде:

a_s = a_{\oplus}\left(\frac{\mathfrak{M}_p}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^{1/3}. \qquad (49)

В отношении планет-гигантов их радиус сферы Хилла определяется минимальным возможным значением $R_{\text{Hill}}$ . В таблице 1 представлены вычисленные по формуле (49) для спутников планет-гигантов значения радиусов круговых орбит. Здесь же представлены радиусы сфер Хилла, обусловленные гравитационным взаимодействием как с Солнцем, так и с планетами-соседками. Из сопоставления результатов следует, что все планеты-гиганты могут иметь такой спутник.

Планета	Юпитер	Сатурн	Уран	Нептун
$a_s$ , млн. км	14.73	9.85	5.26	5.57

Значения радиуса сферы Хилла (млн. км)

Массивное тело/ Планета	Солнце	Юпитер	Сатурн	Уран	Нептун
Юпитер	51.92	–	–	–	–
Сатурн	64.46	249.55	–	–	–
Уран	69.46	471.99	458.44	–	782.64
Нептун	115.16	882.89	1024.08	830.99	–

Таблица 1: значения радиуса орбиты спутника и радиуса сферы Хилла для планет-гигантов Солнечной системы.

Ответ: все планеты-гиганты Солнечной системы могут иметь такой спутник. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Солнце (желтая звезда) в центре пунктирной окружности орбиты Земли; три положения Земли (синие кружки) и соответствующие три положения планеты-гиганта (оранжевые кружки) на пунктирной дуге ее орбиты, каждая в пунктирном круге; зеленая точка — спутник, всегда по другую сторону от планеты относительно Солнца/Земли; линии от Земли к планете и к спутнику; подписи «Солнце», «Земля», «планета-гигант», «Спутник». — Рис. 10: к определению сидерического периода обращения спутника планеты-гиганта.

Справочные данные

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}$
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{K}^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}$
Астрономическая единица – $1\ \text{а.е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек – $1\ \text{пк} = 206265\ \text{а.е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} \cdot \text{с}^{-1} \cdot \text{Мпк}^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г $\cdot$ см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim 1\%$ )

A.4. Данные о Луне

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или $1/81.3$ массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г $\cdot$ см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{array}{l} \sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x; \\ \sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha; \\ \cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha; \\ \mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \dfrac{x}{\cos^2\alpha}; \\ (1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{array}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^{*}$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^{*}$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

A.10. Некоторые характеристики звезд

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-2]_10-11 classes.pdf