Съдържание

Самара 2017, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. «Критическая светимость и предельная масса звезды»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2 · 14 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 10-11. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Условия задач

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Дорогие Друзья! (указание участникам)

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Решения задач

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Условие

Условие. Получите аналитические выражения для критической светимости и предельной массы звезды, для которых еще выполняется баланс сил давления электромагнитного излучения и силы притяжения. Выполните численную оценку результатов и представьте последний в массах Солнца. (14 баллов).

Отговори

Решение

Решение. Как известно, пределом Эддингтона называется максимально допустимое значение светимости звезды ( $L_{\max}$ ), при котором сила давления электромагнитного излучения, исходящего из недр звезды равна весу вышележащих слоев звезды, окружающих зону термоядерных реакций. Т.о. при данном значении $L_{\max}$ звезда еще находится в состоянии равновесия. При $L > L_{\max}$ звезда является нестабильной физической системой и является мощным источником звездного ветра.

Определим явное выражение для $L_{\max}$ . Для этого учтем что все звезды состоят из водородной плазмы, где основным носителем массы является протон. Звездная плазма является квазинейтральной, поэтому на каждый протон приходится один электрон. Сила притяжения, действующая со стороны звезды на протон, находящийся на расстоянии $r$ от центра звезды определяется законом всемирного тяготения:

F_{\text{at}} = \frac{G\,m_p\,\mathfrak{M}_*}{r^2}, \qquad (72)

где $G$ – универсальная гравитационная постоянная, $m_p$ – масса протона, $\mathfrak{M}_*$ – масса части звезды, находящейся внутри сферы радиуса $r$ , центр которой совпадает с центром звезды. Сила давления электромагнитного излучения звезды, действующая на электрон, находящийся в паре с указанным протоном есть

F_p = \frac{j(r)}{c} \cdot \sigma_T, \qquad (73)

где $j(r)$ – плотность энергетического потока электромагнитных волн на расстоянии $r$ от центра звезды, определяемая выражением

j(r) = \frac{L}{4\pi\,r^2}, \qquad (74)

здесь $L$ – светимость звезды на расстоянии $r$ от ее центра. В выражении (73) $\sigma_T$ – томсоновское сечение рассеяния фотона на электроне, определяемое выражением вида

\sigma_T = \frac{8\pi}{3} \cdot \left(\frac{k\,e^2}{m_e\,c^2}\right)^2, \qquad (75)

здесь $k = \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9\ \ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$ – постоянная Кулона; $e$ – заряд электрона, $m_e$ – масса электрона, $c$ – скорость света. Требуя выполнения равенства сил $F_{\text{at}}$ и $F_p$ , и учитывая, что электростатическое взаимодействие между электроном и протоном значительно сильнее гравитационного (т. е. протон-электронные пары можно считать связанными частицами), в результате получаем:

\frac{G\,m_p\,\mathfrak{M}_*}{r^2} = \frac{L_{Edd}}{4\pi\,r^2\,c} \cdot \sigma_T,\ \ \Rightarrow\ \ L_{Edd} = \frac{4\pi\,G\,m_p\,\mathfrak{M}_*\,c}{\sigma_T} \qquad (76)

или

L_{Edd} = \frac{3}{2}\frac{G\,m_p\,m_e^2\,c^5}{k^2\,e^4} \cdot \mathfrak{M}_* = A\left(\frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right), \qquad (77)

где

A = \frac{3}{2}\frac{G\,m_p\,m_e^2\,c^5}{k^2\,e^4} \cdot \mathfrak{M}_{\odot} = 1.265 \cdot 10^{31}\ \text{Вт} = 33050\,L_{\odot}.

Определим максимально допустимую массу звезды. Для этого воспользуемся формулой для светимости звезды

L = 4\pi\,\mathfrak{R}_*^2\,\sigma\,T_{*\,s}^4, \qquad (78)

где $\mathfrak{R}_*$ – радиус звезды, $T_{*\,s}$ – температура поверхности звезды. Далее воспользуемся теоремой о вириале:

E_k = -\frac{1}{2} \cdot U_p, \qquad (79)

где

E_k = \frac{3}{2} \cdot N\,k\,\bar{T}_* \qquad (80)

$E_k$ – кинетическая энергия звезды; $k = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К – постоянная Больцмана; $N$ – число частиц, формирующих тело звезды; $\bar{T}_*$ – средняя (по объему) температура звезды.

U_p = -\frac{3}{5}\frac{G\,\mathfrak{M}_*^2}{\mathfrak{R}_*} \qquad (81)

является гравитационной потенциальной энергией звезды (в приближении однородного шара). Из выражений (80) и (81) следует, что

\frac{3}{2}N\,k\,\bar{T}_* = \frac{3}{10}\frac{G\,\mathfrak{M}_*^2}{\mathfrak{R}_*},\ \ \Rightarrow\ \ \frac{N \cdot m_0}{N_A \cdot m_0}(N_A\,k)\bar{T}_* = \frac{1}{5}\frac{G\,\mathfrak{M}_*^2}{\mathfrak{R}_*},\ \ \Rightarrow

\frac{\mathfrak{M}_*}{\mu_*}R\bar{T}_* = \frac{1}{5}\frac{G\,\mathfrak{M}_*^2}{\mathfrak{R}_*},\ \ \Rightarrow\ \ \bar{T}_* = \frac{\mu_*}{5}\frac{G\,\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{R}_*\,R}. \qquad (82)

В последнем выражении $R = 8.31$ Дж/(кг $\cdot$ моль) – универсальная газовая постоянная; $\mu_*$ – молярная масса звездной плазмы.

Далее установим связь между температурами $T_{*s}$ и $\bar{T}_*$ . Для это учтем, что в недрах звезды температура плазмы является высокой, и потому плазма преимущественно ионизована. Здесь излучение свободно проходит сквозь плазму. У поверхности звезды ионы активно поглощают, идущие из недр звезды фотоны и переизлучают их. Данные процессы повторяются многократно. Именно потому фотоны очень медленно пробираются из недр звезды на ее периферию. Оценим время, необходимое для выхода излучения из тела звезды. Пусть фотон за время $t$ совершил $N$ перемещений $\{\vec{r}_i\}$ , тогда полное перемещение есть

\vec{D} = \sum_{i=1}^{N}\vec{r}_i. \qquad (83)

Квадрат модуля $D$ можно представить в виде:

D^2 = r_1^2 + r_2^2 + ... + r_N^2 + 2(\vec{r_1}\vec{r_2} + \vec{r_1}\vec{r_3} + ...). \qquad (84)

Скалярные произведения векторов расписываются как

\vec{r_i}\,\vec{r_j} = r_i\,r_j\,\cos\alpha_{ij}.

Ради простоты вычислений будем далее полагать, что $r_1 = r_2 = r_s = \ldots = r_N = r$ . При суммировании большого количества слагаемых в круглых скобках в (84), последняя будет стремиться к нулю, в силу изотропности (одинаковой вероятности перемещений в различных направлениях) движения фотона, тогда

D^2 = r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + ... + r_N^2 = N \cdot r^2. \qquad (85)

Следовательно, чтобы фотон (излучение) покинул тело звезды, ему нужно испытать следующее количество столкновений:

N_* = \frac{\mathfrak{R}_*^2}{r^2} \qquad (86)

При этом потребуется время

t_* = \frac{N_*\,r}{c} = \frac{\mathfrak{R}_*^2}{r_*\,c}. \qquad (87)

Время, необходимое для прохождения излучения без переизлучения, составляет

t_0 = \frac{\mathfrak{R}_*}{c},\ \ \Rightarrow\ \ \frac{t_*}{t_0} = \frac{\mathfrak{R}_*}{r}. \qquad (88)

Следовательно, интегральную светимость единицы поверхности звезды и ее недр можно записать в виде (закон Стефана-Больцмана):

\mu_I = \frac{\Delta E}{S \cdot t_0} = \sigma\,\bar{T}_*^4,\ \ \mu_s = \frac{\Delta E}{S \cdot t_*} = \sigma\,T_{*s}^4,\ \ \Rightarrow

откуда следует, что

\frac{t_*}{t_0} = \left(\frac{\bar{T}_*}{T_{*s}}\right)^4,\ \ \Rightarrow\ \ T_{*s} = \bar{T}_*\left(\frac{r}{\mathfrak{R}_*}\right)^{1/4}. \qquad (89)

С использованием выражений (82) и (89) получаем следующую формулу для $T_{*s}$ :

T_{*s} = \frac{1}{5}\left(\frac{r}{\mathfrak{R}_*}\right)^{1/4}\frac{\mu_*\,G\,\mathfrak{M}_*}{R \cdot \mathfrak{R}_*} \qquad (90)

Подставляя (90) в (78) имеем

L_* = 4\pi\,\mathfrak{R}_*^2\,\sigma\left(\frac{r^{1/4}\mu_*\,G\,\mathfrak{M}_*}{5 \cdot R \cdot \mathfrak{R}_*^{5/4}}\right)^4 = \frac{4\pi\,r\,\sigma\,\mu_*^4\,G^4\,\mathfrak{M}_*^4}{625\,R^4\,\mathfrak{R}_*^3}. \qquad (91)

Принимая во внимание, что

\mathfrak{M}_* = \frac{4\pi}{3}\rho_*\,\mathfrak{R}_*^3,\ \ \Rightarrow\ \ \mathfrak{R}_*^3 = \frac{3}{4\pi}\frac{\mathfrak{M}_*}{\rho_*}. \qquad (92)

В итоге

L_* = \frac{16\pi^2}{1875}\frac{r\,\sigma\,\mu_*^4\,G^4\,\rho_*}{R^4}\mathfrak{M}_*^3

или

L_* = B \cdot \mathfrak{M}_*^3,\ \ \text{где}\ \ B = \frac{16\pi^2}{1875}\frac{r\,\sigma\,\mu_*^4\,G^4\,\rho_*}{R^4}. \qquad (93)

Тогда для звезды и Солнца можно записать

L_* = B \cdot \mathfrak{M}_*^3,\ \ L_{\odot} = B \cdot \mathfrak{M}_{\odot}^3,\ \ \Rightarrow L_* = L_{\odot}\left(\frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^3. \qquad (94)

При записи последнего выражения мы принимали во внимание, что средняя плотность большинства стационарных звезд незначительно отличается от плотности воды, и потому данный параметр можно считать постоянной величиной. Из (77) и (94) следует, что

A\left(\frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right) = L_{\odot}\left(\frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{M}_{\odot}}\right)^3,\ \ \Rightarrow\ \ \frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{M}_{\odot}} = \sqrt{\frac{A}{L_{\odot}}} = 182,\ \ \Rightarrow

\mathfrak{M}_{*\max} = 182\ \mathfrak{M}_{\odot},\ \ L_{Edd} = 6.01 \cdot 10^6\,L_{\odot}. \qquad (95)

Ответ: к задаче представляется выражениями (77) и (95). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Справочные данные

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}$
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{K}^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}$
Астрономическая единица – $1\ \text{а.е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек – $1\ \text{пк} = 206265\ \text{а.е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} \cdot \text{с}^{-1} \cdot \text{Мпк}^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г $\cdot$ см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim 1\%$ )

A.4. Данные о Луне

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или $1/81.3$ массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г $\cdot$ см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{array}{l} \sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x; \\ \sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha; \\ \cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha; \\ \mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \dfrac{x}{\cos^2\alpha}; \\ (1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{array}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^{*}$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^{*}$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

Рис. А.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

A.10. Некоторые характеристики звезд

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-2]_10-11 classes.pdf