Самара 2017, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. «Некоторые свойства двойной звезды Сириус»

• $T_S = 50$ лет; $a_1/a_2 = 0.460 = \mathfrak{M}_2/\mathfrak{M}_1$; $\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2 = 3.303\,\mathfrak{M}_{\odot}$, $\mathfrak{M}_1 = 2.26\,\mathfrak{M}_{\odot}$, $\mathfrak{M}_2 = 1.04\,\mathfrak{M}_{\odot}$; $M_{V1} = 1.45^m$, $M_{V2} = 11.48^m$; $M_{b1} = 0.73^m$, $M_{b2} = 11.17^m$; $L_1 = 40.2\,L_{\odot}$, $L_2 = 2.68 \cdot 10^{-3}L_{\odot}$; $\rho_1 = 636$ кг/м$^3$, $\rho_2 = 2.47 \cdot 10^9$ кг/м$^3$; высокая плотность Сириуса B обусловлена физикой вырожденного газа, из которого состоит белый карлик.

Решение. 1. На рис. 3 изображены траектории видимого движения компонент двойной звезды Сириус и их центра масс (прямая линия). Из рисунка видно, что движение компонент периодическое (повторяются формы описываемых траекторий). Следовательно, период обращения – это промежуток времени между двумя последовательными моментами, отвечающими одинаковым взаимными расположениям звезд. Например, такими моментами времени являются 1910 и 1960 год. Следовательно, период обращения системы вокруг их общего центра масс равен $T_S = 50$ лет.

2. С использованием рис. 3 определяем видимые расстояния $x_1$ и $x_2$ компонент системы относительно центра масс на указанные даты. Результаты измерений представлены в таблице 2 (Ваши значения $x_1$ и $x_2$ могут отличаться от представленных в таблице 1).

Таблица 2: данные измерений расстояний $x_i$ и вычисленные значения отношения $x_1/x_2$.

Рассмотрим расположение компонент на эллиптических орбитах (см. рис. 12). Нетрудно видеть, что между видимыми расстояниями $x_1$ и $x_2$ компонент двойной звезды относительно центра масс и их полярными расстояниями $r_1$ и $r_2$ можно установить однозначную связь. Действительно, треугольники $\triangle S_1CC_1$ и $\triangle S_1S_2S'_2$ являются подобными, следовательно, для них справедливо отношение сторон:

С другой стороны, в рамках задачи № 16 настоящего релиза было показано, что отношение полярных расстояний $r_1$ и $r_2$ равно отношению больших полуосей $a_1$ и $a_2$ эллиптических орбит данных звезд. Следовательно, в нашем случае

здесь, $\mathfrak{M}_1, \mathfrak{M}_2$ – массы компонент «Сириус А» и «Сириус В» соответственно.

3. Согласно третьему обобщенному закону Кеплера для двух пар тел «Сириус-А-В» и «Солнце-Земля» можно записать третий обобщенный закон Кеплера:

где $\mathfrak{M}_{\odot}, \mathfrak{M}_{\oplus}$ – массы Солнца и Земли соответственно, $T_{\oplus}$ – период обращения Земли вокруг Солнца, $a_S$, $a_{\oplus}$ – большие полуоси орбит относительного движения «Сириуса В» относительно главной компоненты и Земли относительно Солнца. Учитывая что $\mathfrak{M}_{\odot} \gg \mathfrak{M}_{\oplus}$, и

Следовательно, уравнение (97) можно записать в виде:

Большую полуось $a_S$ можно представить в виде:

где $r_S$ – расстояние до Сириуса в парсеках. В результате получаем два уравнения с двумя неизвестными:

откуда следует, что

Отметим, что наибольшее точные оценки масс компонент ($\mathfrak{M}_1 = 2.10\,\mathfrak{M}_{\odot}$, $\mathfrak{M}_2 = 0.98\,\mathfrak{M}_{\odot}$), полученные профессионалами, близки к нашим результатам.

4. Вычислим абсолютные визуальные звездные величины компонент двойной системы по формулам:

5. По таблице приложения A.10 определяем болометрические поправки для данных компонент:

Следовательно, болометрические абсолютные звездные величины:

Светимости звезд определяются выражениями:

где $M_{b\odot} = 4.74^m$ – абсолютная болометрическая звездная величина Солнца.

6. Определим массовую плотность компонент

где $\rho_{\odot} = 1410\ \text{кг/м}^3$ – средняя массовая плотность Солнца.

Очевидно, что средняя массовая плотность компонента «Сириус В» является аномально высокой. Это объясняется тем, что данная звезда является белым карликом, основу которой составляет вырожденный газ из полностью ионизованной звездной гелиевой (кислородной или углеродной) плазмы.

Вырожденным газом называется квантовый газ из частиц, среднее расстояние между которыми сопоставимо с их дебройлевской длиной волны. Величина последней при температуре звездной плазмы есть $\lambda_D \sim 10^{-12}$ м. Среднее расстояние между атомами вещества $\bar{\ell} \sim 10^{-10}$ м. Следовательно, $\bar{\ell}/\lambda_D \sim 10^2$, а плотность плазмы в $(\bar{\ell}/\lambda_D)^3 = 10^6$ раз больше плотности обычной материи, величина которой порядка $\bar{\rho} \sim 10^3$ кг/м$^3$. Следовательно, плотность белых карликов должна быть пропорциональна $\left(\frac{\bar{\ell}}{\lambda_D}\right)^3 \cdot \bar{\rho} \sim 10^9$ (кг/м$^3$), что и объясняет указанный факт.

Ответ: к задаче представлен выражениями (96), (101) (102), (103), (104), (105); период обращения системы – $T_S = 50$ лет; высокая массовая плотность компонента «Сириус В» обусловлена физикой вырожденного газа, из которого состоит белый карлик. ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).