Съдържание

Самара 2017, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Максимальная дальность радиолокации и орбитальные характеристики периферийного тела

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2017

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2 · 15 февруари 2017 г. · 15 т.

Дорогие Друзья!

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень A), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2017

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Дорогие Друзья! (перед задачами)

Дорогие Друзья!

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2017, внимательно ознакомьтесь с «Методическими указаниями по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017»! Электронный адрес последних указан в Памятке участника.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Титульный лист решений

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2017 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР № 2

Самара, 2017г.

Дорогие Друзья! (файл решений)

Дорогие Друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2017 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2017 (файл решений)

Памятка участника SamRAS-2017

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2017 тура № 2 на проверку: 15.02.2017-30.04.2017!!!
Электронный ящик SamRAS-2017: samrasolimp@mail.ru
Методические указания по решению задач заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2017: http://v937184r.bget.ru/AstroSchool/Basic%20Documents/Guide-on-Tasks[2017]_SamRAS.pdf или https://vk.com/doc-57032141_437742356

Условия задач (файл решений)

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Решения задач

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Условие

Условие. Предположим, что на земном экваторе запущен в эксплуатацию очень мощный радиотелескоп с чрезвычайно чувствительным приемником радиоволн и поворотной антенной. При его создании предполагалось, что он будет в одиночку использоваться для радиолокации тел Солнечной системы. Определите (как можно точнее):

а) максимальную продолжительность одного сеанса радиолокации верхнего тела Солнечной системы, находящегося в противостоянии с Солнцем;

б) максимально возможное расстояние, которое можно измерить данным телескопом до такого тела, в рамках одного сеанса.

Оцените, во сколько раз при этом интенсивность принятого радиоизлучения от небесного тела меньше интенсивности посланного к нему. Наклоном экватора Земли и наклонением плоскости орбиты тела к эклиптике пренебречь. Альбедо данного тела в радиодиапазоне принять равным единице. Вычислите также большую полуось, период обращения и среднюю орбитальную скорость этого тела вокруг Солнца. Орбиту тела считать круговой. (15 баллов).

Отговори

Решение

Рассмотрим процесс радиолокации небесного тела, находящегося в противостоянии с Землей. Пусть в момент времени $t_0$ радиотелескоп отправил радиоимпульс в направлении тела $T$ (см. рис. 10). Последний в пространстве распространяется по прямой $AT$ , достигает тела $T$ , отражается от его поверхности и один из отраженных лучей возвращается обратно на телескоп по пути $TB$ . За это время телескоп, в силу суточного вращения Земли, переместится в точку $B$ . Предположим, что последняя расположена симметрично точке $A$ относительно прямой $CT$ . Очевидно, что продолжительность сеанса радиолокации ограничена временем пребывания ( $\tau$ ) радиотелескопа в пределах прямой видимости, если смотреть на Землю с тела $T$ . В этом случае точки $A$ и $B$ должны быть на горизонте при наблюдении с небесного тела. Тогда $\Delta\,A\,C\,T$ будет прямоугольным, следовательно, для него справедливо выражение вида:

\cos\alpha = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\Delta} = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\sqrt{\mathfrak{R}_{\oplus}^2 + (c\,\tau/2)^2}}, \qquad (52)

иначе

\alpha = \omega_{\oplus}\,\frac{\tau}{2} = \frac{\pi\,\tau}{T_{\oplus}}, \qquad (53)

здесь $\mathfrak{R}_{\oplus}$ – радиус Земли, $\omega_{\oplus}, T_{\oplus}$ – угловая скорость и период суточного вращения Земли вокруг своей оси; $c$ – скорость света (радиоволн) в вакууме. Из (52) и (53) следует, что

\cos\frac{\pi\,\tau}{T_{\oplus}} = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{\sqrt{\mathfrak{R}_{\oplus}^2 + (c\,\tau/2)^2}}, \qquad (54)

Решая уравнение (54) графическим образом, можно найти $\tau$ – корень данного уравнения. Однако, этого можно не делать, если заметить, что $\alpha \le \frac{\pi}{2}$ , то $\tau \le \frac{T_{\oplus}}{2}$ , поэтому максимальная продолжительность одного сеанса радиолокации есть[^5]

\tau_{\max} = \frac{T_{\oplus}}{2} = 43082\ \text{с} = 11.967\ \text{часа}. \qquad (55)

Значение параметра $\Delta$ , очевидно, не может быть больше

\Delta_{\max} = \sqrt{\mathfrak{R}_{\oplus}^2 + (c\,T_{\oplus}/4)^2} = 6.462 \cdot 10^9\ \text{км}. \qquad (56)

Следовательно, гелиоцентрическое расстояние до данного тела есть

r = a_{\oplus} + \Delta_{\max} = 6.612 \cdot 10^9\ \text{км} = 44.20\ \text{а.е.} \qquad (57)

Пусть интенсивность радиоимпульса, испущенного радиотелескопом, равна $I_0$ , тогда поток энергии радиоволн будет равен

\Phi_0 = \frac{\pi}{4}D_T^2\,I_0.

Интенсивность излучения у поверхности данного тела будет, согласно закону обратных квадратов, равна

I_T = \frac{\Phi_0}{2\pi\,\Delta_{\max}^2}.

Поток излучения, упавшего на поверхность тела $T$ радиуса $\mathfrak{R}_T$ , будет равен

\Phi_T = I_T\,\pi\,\mathfrak{R}_T^2.

Весь поток $\Phi_T$ в результате рассеивается в космическом пространстве. Интенсивность принятого сигнала (в случае изотропного рассеяния радиоволн телом $T$ ) будет равна

I = \frac{\Phi_T}{4\pi\,\Delta_{\max}^2} = \frac{I_0}{32}\cdot\frac{{D_T}^2{\mathfrak{R}_T}^2}{\Delta_{\max}^4}, \ \Rightarrow

\frac{I_0}{I} = \frac{32\Delta_{\max}^4}{{D_T}^2{\mathfrak{R}_T}^2}. \qquad (58)

Очевидно, что искомое отношение зависит как от предельного расстояния ( $\Delta_{\max}$ ) до данного тела, так и от диаметра телескопа ( $D_T$ ) и радиуса небесного тела $\mathfrak{R}_T$ . Оценим данную величину для крупнейшего радиотелескопа $FAST$ (Китай) с $D_T$ = 500 м, трансплутонового тела с $\mathfrak{R}_T = 10^3$ км. В итоге получаем $I_0/I = 2.23 \cdot 10^{35}$ . Т.о одна из главных проблем радиолокации далеких объектов – это гигантское падение интенсивности радиосигнала в процессе распространения радиосигнала туда-обратно.

Период обращения верхнего тела можно выявить с использованием третьего закона Кеплера:

\left(\frac{T}{T_{\oplus}}\right)^2 = \left(\frac{r}{a_{\oplus}}\right)^3, \ \Rightarrow \ T = T_{\oplus}\left(\frac{r}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 294\ \text{года}. \qquad (59)

Его средняя орбитальная скорость есть

\bar{V} = \frac{2\pi\,r}{T} = 4.48\ \text{км/с}. \qquad (60)

Ответ: к задаче определяется выражениями (55)-(60). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

[^5]: Точное решение уравнения (54) численным образом, дает значение $\tau_{\max} = 43081.973$ с.

Схема: слева Солнце S, в середине розовый диск Земли с центром C на пунктирной дуге «орбита Земли», справа тело T на пунктирной дуге «орбита небесного тела»; от точек A (вверху диска) и B (внизу диска) к T проведены голубые штриховые линии, также линия S–C–T; угол α при C между CA и CT. — Рис. 10: к определению искомых характеристик радиотелескопа и орбиты небесного тела.

Справочные данные

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}$
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{K}^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}$
Астрономическая единица – $1\ \text{а.е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек – $1\ \text{пк} = 206265\ \text{а.е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} \cdot \text{с}^{-1} \cdot \text{Мпк}^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г $\cdot$ см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim 1\%$ )

A.4. Данные о Луне

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или $1/81.3$ массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г $\cdot$ см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

A.5. Формулы приближенного вычисления

\begin{array}{l} \sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x; \\ \sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha; \\ \cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha; \\ \mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \dfrac{x}{\cos^2\alpha}; \\ (1 + x)^n \approx 1 + n\, x; \end{array}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^{*}$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г $\cdot$ см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^{*}$
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^{*}$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Круговая диаграмма: в центре Солнце, вокруг него орбита Земли с 12 положениями Земли и стрелкой направления движения; от Солнца через положения Земли проведены лучи к внешнему цветному кольцу созвездий эклиптики с числом дней пребывания Солнца и датами границ: Лев 37 д (16.09–10.08), Рак 20 д (10.08–21.07), Близнецы 31 д (21.07–20.06), Телец 37 д (20.06–14.05), Овен 25 д (14.05–19.04), Рыбы 38 д (19.04–12.03), Водолей 24 д (12.03–16.02), Козерог 28 д (16.02–20.01), Стрелец 32 д (20.01–18.12), Змееносец 18 д (18.12–30.11), Скорпион 7 д (30.11–23.11), Весы 23 д (23.11–31.10), Дева 45 д (31.10–16.09). — Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

A.10. Некоторые характеристики звезд

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2017-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2017-2]_8-9 classes.pdf