Самара 2018, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 18 о формировании «духов» гравитационной микролинзой

Решение.
Рассмотрим задачу о формировании изображений («духов»)
первичного точечного источника света гравитационной микролинзой.

1. Пусть в точке $D$ (см. рис. 14) находится точечная гравитационная линза

(дефлектор), в точке $S$ – источник света (звезда фона), в точке $O$ находится наблюдатель. Поскольку, вдали от тела $D$ фотон движется практически по прямой линии, то его траекторию можно аппроксимировать двумя прямыми линиями, изломанными вблизи тела $D$ (в точках $A$ и $B$). Угол $\alpha$ между ними показывает, насколько отклонился фотон, пройдя гравитационное поле тела
$D$ (определяется выражением (91)).
Угол между направлением на дефлектор и истинное положение источника $S$ обозначим через $\theta$.
Два луча света (изображены двумя жирными линиями), прошедшие по разные стороны тяготеющего тела, будут отклонены от первоначальных направлений в сторону этого тела. Если источник света $S$ находится достаточно далеко от тела $D$, то лучи начнут сходиться и пересекутся в некоторой удаленной точке $O$.
Наблюдатель, находящийся в точке $O$, увидит два изображения ( $I_{1}$, $I_{2}$, называемых "духами") одного и того же источника света $S$. По сути, в этом заключается эффект гравитационной микролинзы. Для трех физических тел (источник света $S$, гравитирующее тело $D$ и наблюдатель $O$), изображенных на рис. 14, определим расстояния: расстояние от $S$ до $D$ обозначим через
$D_{sd}$, а от $D$ до наблюдателя $O$ – $D_{d}$, расстояние между источником света и наблюдателем обозначим $D_{s}$. Пусть $\theta_1^{(1)}$
и $\theta_1^{(2)}$
– углы между направлением на дефлектор и видимые положения источника ("духи") $I_{1}$ и $I_{2}$ соответственно. Пусть углы $\beta _{1}$, $\beta _{2}$ – углы между направлением на источник света $S$ и направлениями на видимые изображения $I_{1}$ и $I_{2}$.
Плоскость, проходящая через точку, где находится источник, перпендикулярная направлению "источник-наблюдатель", называется плоскостью источника. Плоскость, проходящая через точку, где находится гравитационная линза, перпендикулярная направлению "линза-наблюдатель", называется плоскостью линзы.
Из рис. 14, для плоского треугольника$△AOS$ нетрудно установить, что

Согласно теореме синусов для$△AOS$ имеем

Поскольку, углы $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$ являются малыми, то $\operatorname{sin} \beta _{1} \approx \beta _{1}$, $\operatorname{sin} \gamma _{1} \approx \gamma _{1}$. Будем также считать, что угол $\theta$ мал; поэтому $SA \approx SD = D_{sd}$, $AO \approx DO = D_{d}$.
Следовательно,

Выразим из уравнения (106) параметр $\beta _{1}$ и подставим его в уравнение (107), c учетом того, что $\alpha = 4G \mathfrak{M}/(b c^{2})$, тогда

Затем из (108) выразим $\gamma _{1} = \beta _{1}(D_{d}/D_{sd})$. В последнем выражении учтем, что $\beta _{1} = \theta _{1} -\theta$, согласно (107). Примем также во внимание, что прицельный параметр $b \approx DA \approx D_{d} \cdot \theta _{1}$. В итоге имеем

Умножим последнее уравнение на $\theta _{1}$ и приведем подобные члены:

Поделим всё уравнение на сумму двух слагаемых, стоящих при $\theta ^{2}_{1}$. В итоге, получаем следующее уравнение

Здесь $\theta _{0}$ – угловой радиус так называемого конуса Эйнштейна. Уравнение (109) называется уравнением гравитационной точечной сферически симметричной линзы. 2. Параметр $\theta _{0}$ удобно выразить через годичные параллаксы источника $\pi _{s}$ и дефлектора (линзы) $\pi _{d}$ (далее $\pi ^{\prime \prime}_{s}$, $\pi ^{\prime \prime}_{d}$ выражены в угловых секундах).
Поскольку,

здесь $a_{0} = 1$ а.е., $\mathfrak{R}_{Sh\odot}= 2G \mathfrak{M}_{\odot}/c^{2} = 2.95$ км – радиус Шварцшильда для Солнца. Выражая $\theta _{0}$ в угловых секундах в результате получаем:

3. Очевидно, что уравнение (109) имеет два действительных корня:

соответствующих двум изображениям источника. При этом, угол между этими изображениями есть

На рис. 15, в качестве примера, приведены кривые зависимостей углов $\theta ^{(1)}_{1}$ ,
$\theta ^{(2)}_{1}$ , $\Delta \theta _{1}$ от угла $\theta$, для гипотетического объекта с $\mathfrak{M}_{N} = 0.07 \cdot \mathfrak{M}_{\odot}$ и гелиоцентрическим расстоянием $D_{d} = 8800$ а.е. Очевидно, при малых значениях угла $\theta$, значения $\theta ^{(1)}_{1}$ , $\theta_1^{(2)}$
равны по модулю $\theta _{0}$ и противоположны по знаку, т.е. будут расположены симметрично относительно дефлектора.
Однако, с ростом $\theta$ картина становится асимметричной: первый "дух" удаляется от дефлектора, причем $\theta_1^{(1)} \approx \theta$, а второй асимптотически приближается к дефлектору и $\theta_1^{(2)} \to 0$.
В приведенных выше рассуждениях мы постоянно говорили о двух изображениях. Однако, два изображения образуются не всегда. Прежде предполагалось, что размеры тела $D$ бесконечно малые, а выражение (92) справедливо для произвольного прицельного параметра $b$. В реальной ситуации, когда прицельный параметр одного из изображений становится меньше радиуса тела $\mathfrak{R}$, что выражается неравенством

Рис. 16: траектории движения источника ( $S$) и его изображений $I_{1}$ и $I_{2}$ (направление движения источника и изображений указаны стрелками), сформированных точечной гравитационной линзой (c массой $\mathfrak{M} = 0.07 \mathfrak{M}_{\odot}$ и расстоянием $D_{d} = 8800$ а.е.), при
а) $\theta _{p} = 0.01^{\prime \prime}$; б) $\theta _{p} = 0.1^{\prime \prime}$.
изображение $I_{2}$ исчезает для наблюдателя $O$ (луч света, распространяющийся вдоль линии с таким значением прицельного параметра, поглощается веществом гравитационной линзы, если последняя является непрозрачной). Поэтому в такой ситуации остается только одно изображение. Это является причиной того, что эффект гравитационной линзы не наблюдается во время солнечного затмения, несмотря на то, что есть много звезд, расположенных почти точно на оси "центр Солнца-наблюдатель" (напомним, что угловой размер Солнца примерно$0.5^{\circ}$, что значительно превышает размер конуса
Эйнштейна Солнца на расстоянии одной астрономической единицы). В выражении (115) $\rho _{d}$ – угловой радиус линзы. 4. На рис. 16 представлены результаты моделирования траекторий движения источника $S$, и «духов» $I_{1}$, $I_{2}$ в плоскости линзы для двух значений прицельного углового параметра a) $\theta _{p} = 0.01^{\prime \prime}$, б) $\theta _{p} = 0.1^{\prime \prime}$. Стрелками указаны направления их движений. Важно отметить, что источник $S$, «ду́хи» и дефлектор всегда расположены на одной прямой в данной плоскости. Причем второй дух $I_{2}$ отделяется от линзы, а первый – $I_{1}$ от источника, когда последний достаточно близко подходит к своему конусу Эйнштейна. ( $\char"24_{max} = 15$
баллов).