Съдържание

Самара 2018, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 17. Сечения рассеяния фотонов в гравитационном поле линзы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2018

SAMRAS-2018 — тур №2, 10–11 классы · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивные оригиналы содержат 18 самостоятельно пронумерованных задач трех уровней с полным соответствующим авторским ключом; каждый связанный набор пунктов сохранен в одной целой задаче. Общая длительность и сумма баллов не напечатаны и не выдуманы. Все 67 физических страниц обоих оригиналов прочитаны, включая повтор условий, обложки и повтор справочного приложения. Полное восьмистраничное приложение представлено исходными научными изображениями; повтор в ключе сохранен в полном оригинальном PDF. Декоративные изображения обложки и разделителей не научные диаграммы.

Печатные расхождения и ошибки оригинала:

В памятке условий указано 15.02.2018–15.05.2018, а в памятке ключа —15.02.2017–15.05.2018. Обе печатные даты сохранены с атрибуцией.

В ключе задачи 2 дробь для поворота линии узлов напечатана 36°/18.6·0.5≈10°, с36°, а не 360°. Исходная запись сохранена.

Ответ задачи 5 содержит неразрешенную ссылку(??), затем(13)и(14); формула Погсона в исходнике не имеет номера, а(14)начинает задачу 6. Номер не исправлен.

Задача 8 печатает коэффициент теплоотдачи 30 Вт/(м²·K), в таблице дано ключа —30 Вт/(м²·К⁴). Ключ добавляет 20°C и трактует 450° как 450°C; в формуле(28)знаменатель sinα, хотя высота обозначенаh. Его освещенности 942 и847 Вт/м² и итог 0.09≈0.1 сохранены без исправления арифметики.

В условии задачи 10 выражение «гелио- и геоцентрическое расстояния кометы от Земли» сохранено буквально.

В условии задачи 13 для Кирова повторно напечатаны φS/λS; в ключе ониφK/λK. В формуле(64)ключа встречаются hC иhk; обе исходные записи сохранены. Перед(66)обе звездные величины обозначены mmax. Формула(67)явно печатает Pmax=18.35 мВт иPmin=18.35 кВт; это сохранено как ошибка единицы максимума.

В ключе 14 перед (71)напечатаноβ1=ℓ0/L,β2=ℓ/L, затем (71)дает β1/β2=ℓ/ℓ0. Противоречие обозначений не устранено.

В условии 15 уМ 32/М110 повторяются δ0, а у массыМ 32 —M0. Таблица дано ключа дает δ1,δ2,M1; оба исходных варианта сохранены. Формула(78)печатает Δi,j без квадрата слева от выражения для квадрата расстояния; формула(84)повторяетai на обеих сторонах. В «Найти» напечатаноR2min, а в методе и таблице — максимально возможный радиус.

В отдельном условии 18 пункт 3 ссылается на(3); в повторе условий внутри ключаК 8 — на(115). Ключ(115)сохраняет неравенство для подписанногоθ1^(2) без модуля. Это исходные варианты, не новые исправленные решения.

Исходная обложка и уровни

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2018 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10–11 КЛАССОВ. ТУР № 2. Самара,2018 г.

А. Уровень «Новичок»: задачи 1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи 7–12.

C. Уровень «Профи»: задачи 13–18.

Полные исходные указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B)

и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2018

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 2 на проверку : 15.02.2018-15.05.2018!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Указание перед задачами (У4):

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2018, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Полные выходные данные и памятка авторского ключа (К2):

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2018 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2018

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2018 тура № 2 на проверку : 15.02.2017-15.05.2018!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2018: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2018 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Полные исходные справочные данные А.1–А.10

Полная исходная научная страница справочного приложения 11 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 12 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 13 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 14 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 15 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 16 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 17 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Полная исходная научная страница справочного приложения 18 со всеми таблицами, числами, единицами, графиками и подписями.

Условие

В процессах рассеяния фотонов в гравитационном поле линзы наблюдать траекторию отдельного фотона не представляется возможным. И потому, на эксперименте измеряют поток рассеянных частиц ( $F_{sca}$ ) – количество частиц, рассеянных линзой в некотором направлении, за единицу времени. Основная физическая величина, используемая для описания процесса рассеяния, – полное эффективное сечение $\sigma$ , которое определяется соотношением вида

\sigma=\frac{F_{sca}}{j_0},\qquad (1)

где $j_0$ – плотность потока частиц (фотонов) – количество частиц, движущихся в направлении линзы, и проходящих через единичную площадку, за единицу времени. Параметр $\sigma$ несет информацию о характере взаимодействия рассеянных частиц. Наглядно его можно рассматривать как эффективную площадь мишени, попадая в которую, частицы рассеиваются под углом $\theta>\theta_{min}$ , $\theta_{min}$ – наперед заданная величина.

Процессы упругого рассеяния можно охарактеризовать дифференциальным эффективным сечением рассеяния, равным отношению потока частиц $dF_{sca}$ , рассеянных мишенью в телесный угол $d\Omega$ , к величине плотности потока падающих частиц $j_0$ и величине телесного угла $d\Omega$ :

\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{dF_{sca}}{j_0d\Omega},\qquad (2)

Опираясь на представленные определения, получите:

1 аналитическое выражение для дифференциального сечения ( $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ ) рассеяния фотонов в гравитационном поле линзы. (6 баллов);

2 приближенное выражение для $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ , при малых углах отклонения. (2 балла);

3 формулу для полного сечения ( $\sigma_{tot}$ ) рассеяния фотонов в гравитационном поле, при условии, что углы отклонения фотонов принадлежат отрезку $[\theta_{min},\theta_{max}]$ (2 балла).

4 Представьте полученные результаты в терминах радиуса Шварцшильда для линзы, в обезразмеренном виде (путем деления итоговых выражений для $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ и $\sigma_{tot}$ на площадь поперечного сечения линзы – $\pi\mathfrak R^2$ ). (4 балла).

Решение

Полный исходный научный рисунок13, включая все подписи и исходную подпись, страница34.

Решение.
Прежде всего, воспользуемся определением понятия телесного угла – части пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность (см. рис. 13.а). Частными случаями телесного угла являются трехгранные и многогранные углы. Величина бесконечно малого телесного угла $d\Omega$ , в общем случае, есть

d\Omega=\frac{dS}{r^2}\cos\phi,\qquad (95)

где $dS$ – величина бесконечно малой площадки, стягивающей данный телесный угол, $r$ – расстояние от вершины угла до данной площадки, $\phi$ – угол между направлениями "вершина угла – площадка" и нормали $\vec n$ к поверхности. Телесный угол, в частном случае, можно также определить отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 13.б):

d\Omega=\frac{dS}{R^2}.\qquad (96)

Учитывая, что элементарная площадка $dS$ представляется в сферических координатах (согласно рис. 13.б) в виде:

dS=R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi,

следовательно, телесный угол $d\Omega$ можно представить в виде:

d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.\qquad (97)

Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан (срад)2, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса $R$ поверхность с площадью $R^{2}$ . Полная сфера образует телесный угол, равный $4\pi$ срад (полный телесный угол).
Падающие частицы не обладают ни фиксированным прицельным параметром $b$ , ни фиксированным азимутальным углом $\varphi$ , а равномерно распределены по азимутальному углу (относительно направления падения пучка, выбранного в качестве оси OX) и по $b$ (см. рис. 12.a). Однако, все падающие частицы, заключенные в "трубке", площадь сечения которой равна $b db d\varphi$ , будут рассеиваться в бесконечно малый телесный угол $d\Omega = \operatorname{sin} \theta d\theta d\varphi$ .
Процессы упругого рассеяния можно охарактеризовать дифференциальным эффективным сечением рассеяния, определяемым выражением (2). Из последнего выражения для потока следует, что

dF_\text{sca}=\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]j_0\,d\Omega.

Иначе, указанные частицы, падая на мишень, проходят за единицу времени через площадку $b db d\varphi$ (см. рис. 12.a). Тогда,

dF_\text{sca}=j_0b\,db\,d\varphi.

Откуда, с учетом (97), следует явное выражение для дифференциального сечения рассеяния в единичный телесный угол

\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]=\frac{b(\theta)}{\sin\theta}\left|\frac{db}{d\theta}\right|.\qquad (98)

Вычислим дифференциальное сечение рассеяния для фотона, рассеянного в гравитационном поле линзы. Согласно выражению (91), имеем

b=\left(\frac{4G\mathfrak{M}}{c^2}\right)\frac1{\operatorname{tg}\theta},\Rightarrow\left|\frac{db}{d\theta}\right|=\left(\frac{4GM}{c^2\operatorname{tg}^2\theta}\right)\frac1{\cos^2\theta}=\left(\frac{4G\mathfrak{M}}{c^2}\right)\frac1{\sin^2\theta}.\qquad (99)

В итоге, получаем следующее выражение для дифференциального сечения:

\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]=\left(\frac{4G\mathfrak{M}}{c^2}\right)^2\frac{\cos\theta}{\sin^4\theta},\Rightarrow\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]=4\mathfrak{R}_\text{Sh}^2\frac{\cos\theta}{\sin^4\theta},\qquad (100)

2Считается, что телесный угол имеет нулевую физическую размерность. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
здесь $\mathfrak{R}_{Sh}$ – радиус Шварцшильда (его определение было дано в предыдущей задаче). В случае малого угла отклонения $\theta$ , т.е. $\theta \ll 1$ , следует, что
$\operatorname{sin} \theta \approx \theta$ , $\operatorname{cos} \theta \approx 1-\frac{\theta^2}{2}$ . Тогда можно записать приближенный результат для дифференциального сечения рассеяния:

\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]\approx\left(\frac{4G\mathfrak{M}}{c^2}\right)^2\left(\frac{2-\theta^2}{2\theta^4}\right).\qquad (101)

Полное сечение процесса рассеяния есть

\sigma_\text{tot}=\int_\Omega\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]d\Omega=2\pi\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}b(\theta)\left|\frac{db}{d\theta}\right|d\theta=2\pi\left(\frac{4G\mathfrak{M}}{c^2}\right)^2\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}d\theta.

Вычислим последний интеграл

\begin{aligned}\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}d\theta&=\int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\frac{d\sin\theta}{\sin^3\theta}=-\frac12\left.\frac1{\sin^2\theta}\right|_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\\&=\frac12\left[\frac1{\sin^2\theta_{\min}}-\frac1{\sin^2\theta_{\max}}\right]\approx\frac12\left[\frac1{\theta_{\min}^2}-\frac1{\theta_{\max}^2}\right].\end{aligned}\qquad (102)

Последний результат справедлив лишь при малых углах – $\theta _{min}$ , $\theta _{max}$ . Т.о., окончательное выражение для полного эффективного сечения рассеяния есть

\sigma_\text{tot}=4\pi \mathfrak{R}_\text{Sh}^2\left[\frac1{\sin^2\theta_{\min}}-\frac1{\sin^2\theta_{\max}}\right].\qquad (103)

В численном анализе полученных результатов удобнее использовать безразмерные величины дифференциального и полного сечений, которые можно получить из (100) и (103) делением на площадь геометрического поперечного сечения сферического тела линзы $S_{G} = \pi \mathfrak{R}^{2}$ :

S_\Omega=\frac1{S_G}\left[\frac{d\sigma}{d\Omega}\right]=\frac4\pi x^2\frac{\cos\theta}{\sin^4\theta},\quad\theta_{\min}\le\theta\le\theta_{\max},\qquad (104)

S_\text{tot}=4x^2\left[\frac1{\sin^2\theta_{\min}}-\frac1{\sin^2\theta_{\max}}\right],\quad\text{где }x=\frac{\mathfrak{R}_\text{Sh}}{\mathfrak{R}}.\qquad (105)

Ответ:
к задаче представлен выражениями (100), (101), (103), (104), (105). ( $\char"24_{max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2018-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2018-2]_10-11 classes.pdf