Самара 2018, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 16. Угол отклонения светового луча в гравитационном поле звезды

Дано и найти (исходный ключ):

$\mathfrak M,\mathfrak R.\quad\text{Найти: }\theta_1,\theta_{tot},\theta_{tot}^{(\max)}.$

Для решения настоящей и последующих задач будем использовать следующие предположения о гравитационной микролинзе и излучении.

1. Гравитационная микролинза – это тело, имеющее форму шара радиуса $\mathfrak{R}$ и массы $\mathfrak{M}$, со сферически-симметричным

распределением вещества, угловые размеры которого настолько малы (с точки зрения наблюдателя), что оно видится как точечный источник света. 2. Электромагнитное излучение далекого точечного источника света будем представлять потоком фотонов – квантов электромагнитного поля. Динамическая масса фотона $m_{\gamma}$ определяется формулой Эйнштейна:

где $p_{\gamma}$, $E_{\gamma}$ – импульс, энергия фотона соответственно; $c$ – скорость света.
Вычислим угол отклонения фотона в гравитационном поле микролинзы.
Согласно закону всемирного тяготения, на фотон, находящийся на расстоянии $r$ от центра микролинзы, действует сила притяжения ( $\vec F_{G}$), направленная по прямой, соединяющей рассматриваемые объекты, вектор которой представляется в виде:

где $G = 6.674\cdot 10^{-11}$ Н $\cdot$ м$^{2}$/кг$^{2}$ – гравитационная постоянная, $\vec r$ – радиус-вектор фотона, проведенный из центра микролинзы, $r$ – его величина.
Будем полагать, что изначально фотон двигался вдоль прямой c прицельным параметром $b$ (см. рис. 12.а). В результате взаимодействия с микролинзой, фотон будет двигаться по геодезической кривой, "сближающейся" c данным телом.
Углом отклонения$(\theta )$ фотона $\gamma$ будем называть угол между векторами начального и конечного импульсов фотонов (см. рис. 12.а). Степень отклонения от прямолинейного движения, очевидно, зависит от величины массы тела $\mathfrak{M}$ и от прицельного параметра $b$.
Далее рассмотрим случай слабого гравитационного поля для сферического тела, когда кривизной траектории фотона в расчетах можно пренебречь, другими словами, будем полагать, что фотон движется по прямой $AB$ (см.
рис. 12.б) все время взаимодействия. Запишем закон изменения импульса фотона в течение бесконечно малого промежутка времени $dt$:

Далее введем в рассмотрение декартову системы координат так, как показано на рис. 12.б). Запишем векторное уравнение в проекциях на координатные оси:

При записи последних выражений учтено, что фотон вдоль оси $OX$ движется по закону $x = x_{0} + c t$; следовательно, $dt = dx/c$; знаки $\parallel$ и $\perp$ указывают на проекции импульса, параллельную и перпендикулярную к направлению первоначального движения фотона. Проинтегрируем полученные дифференциальные уравнения. Тогда проекции изменения импульса фотона можно записать в виде:

очевидно, что первый интеграл системы (89) равен нулю – интеграл вычисляется по симметричному интервалу (относительно точки $O$) от нечетной подинтегральной функции.
Выполнив ряд математических преобразований, получаем для второго интеграла следующий результат:

Следовательно, угол отклонения светового луча представляется в виде:

Данный результат получен в приближении ньютоновской (потенциальной)
теории тяготения. Однако, как было показано еще А. Эйнштейном, гравитационное поле является тензорным и, потому определяется не только массами взаимодействующих тех, но и кривизной пространства. А. Эйнштейном было также установлено, что кривизна пространства дает такой же вклад в итоговый результат в $\Delta p_{\perp}$, что и ньютоновская теория тяготения. Следовательно, окончательно имеем следующее выражение для изменения импульса:

Поскольку угол $\theta _{tot}$ мал, то на практике его, как правило, представляют в угловых секундах:

где $\mathfrak{R}_{Sh}$ – радиус Шварцшильда – критический радиус небесного тела, при котором под влиянием своего собственного притяжения оно становится черной дырой. Это радиус горизонта событий черной дыры, из которого ничто не может вырваться, даже свет. Последний определяемся выражением

Важно отметить, что угол $\theta ^{\prime \prime}$, согласно (92), не зависит от частоты (длины волны) фотона, т.о., фотоны разных энергий в гравитационно поле микролинзы отклоняются на равные углы при прочих равных условиях. Это свойство называется ахроматичностью эффекта микролинзирования.
Согласно выражению (92), угол $\theta ^{\prime \prime}_{tot}$ принимает максимальное значение при минимальном значении прицельного параметра $b$. Очевидно, что последний не может быть меньше радиуса звезды, тогда

Данный параметр будет наибольшим для звезд, у которых большая масса (порядка нескольких масс Солнца) и при этом очень компактные размеры.
Самым компактным объектом является черная дыра, но она не является звездой в классическом понимании. Кроме того, для ее сильного гравитационного поля расчет угла $\theta _{tot}$ является много более сложным и не описывается результатом (94). Тоже самое можно сказать о нейтронной звезде.
Для белых карликов наша модель является рабочей и дает значение, например, для Сириуса B (с массой $\mathfrak{M} = 1.018 \cdot \mathfrak{M}_{\odot}$ и радиусом – $\mathfrak{R} = 0.0084 \cdot \mathfrak{R}_{\odot}$) значение $\theta_{tot}^{max\prime\prime} \approx 220^{\prime \prime} = 3.65^{\prime}$. Однако и белые карлики не относятся к классическим звездам.
Наиболее холодными и плотными звездами (в классическом смысле) являются красные карлики (при $\mathfrak{M} = 0.1 \cdot \mathfrak{M}_{\odot}$ и $\mathfrak{R} = 0.1 \cdot \mathfrak{R}_{\odot}$) для которых получаем величину, подобную значению для Солнца – $\theta_{tot}^{max\prime\prime} \approx 1.8^{\prime \prime}$. Самые разреженные звезды – это красные гипергиганты (при $\mathfrak{M} = 50\cdot \mathfrak{M}_{\odot}$, $\mathfrak{R} = 2\cdot 10^{3}\cdot \mathfrak{R}_{\odot}$)
– $\theta_{tot}^{max\prime\prime} \approx 0.045^{\prime \prime}$.
Ответ:
к задаче представлен выражениями (90), (92), (94); наибольшее значение для белых карликов (не являются звездами в классическом смысле)
– $\theta_{tot}^{max\prime\prime} \approx 220^{\prime \prime}$, для красных карликов – $\theta_{tot}^{max\prime\prime} \approx 1.8^{\prime \prime}$; наименьшее значение для красных гипергигантов – $\theta_{tot}^{max\prime\prime} \approx 0.045^{\prime \prime}$. ( $\char"24_{max} = 13$ баллов).