Самара 2018, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 15. Галактическое трио

Дано и найти (исходный ключ):

$\alpha_0=0^h42.8^m,\ \delta_0=41^\circ16',\ r_0=772\text{ кпк},\ \mathfrak M_0=8\cdot10^{11}\mathfrak M_\odot,\ \mathfrak R_0=1.1\cdot10^5\text{ св. лет};\quad\alpha_1=0^h42.7^m,\ \delta_1=40^\circ52',\ r_1=763\text{ кпк},\ D_1''=7',\ \mathfrak M_1=3\cdot10^9\mathfrak M_\odot;\quad\alpha_2=0^h40.4^m,\ \delta_2=41^\circ41',\ r_2=825\text{ кпк},\ D_2''=21.9',\ \mathfrak M_2=10^{10}\mathfrak M_\odot.\quad\text{Найти: }\Delta_{01},\Delta_{02},\Delta_{12},T_1,T_2,\mathfrak R_1,\mathfrak R_2,\mathfrak R_{1\max},\mathfrak R_{2\min}.$

а) Для определения расстояний $\Delta _{01}, \Delta _{02}, \Delta _{12}$ между галактиками воспользуемся теоремой косинусов

здесь $i, j = 0, 1, 2; \sigma _{i,j}$ – угол между направлениями на $i$ ую и $j$ ую галактики. Для определения последнего воспользуемся формулой (22) из задачи
№7 настоящего релиза, с заменой $\lambda _{1}, \lambda _{2} \to \alpha _{i}, \alpha _{j}$,
$\varphi _{1}, \varphi _{2} \to \delta _{i}, \delta _{j}$, т.е.,

Выполняя численные расчеты $\sigma _{i j}$ и $\Delta _{i j}$ по формулам (78) и (79), получим значения искомых расстояний, представленных в таблице 1.
б) Для определения периода обращения спутников галактик воспользуемся третьим обобщенныи законом
Кеплера:

Численные значения периодов обращения галактик-спутников представлены в таблице 2. В выражении (80) $T_{\oplus}$=1 год – сидерический период обращения Земли вокруг Солнца. $a_{\oplus}= 1$ a.e. – большая полуось земной орбиты;
$\mathfrak{M}_{\odot}, \mathfrak{M}_{\oplus}$– масса Солнца и Земли соответственно.
в) Действительные значения радиусов галактик определим выражением вида

Численные значения искомых величин представлены в таблице 2.
Для определения максимально допустимого значения радиуса галактикиспутника, ради простоты вычислений, будем полагать, что данные спутники имеют форму однородного шара. Устойчивость шарообразной галактикиспутника зависит от того, достаточно ли его притяжение для удержания всех частей шара, или они могут перейти на самостоятельные орбиты вокруг М31.
Последнее может произойти, если какая-либо точка внутри (или хотя бы на поверхности) шара окажется в так называемой первой точке Лагранжа системы "галактика-спутник".
Эта точка находится на отрезке, соединяющей центры материнской галактики и спутника, и ее положение определяется тем, что материальное тело в этой точке будет обращаться вокруг центра главной галактики с той же угловой скоростью $\omega _{i}$, что и $i$-я галактика-спутник, оставаясь на линии, соединяющей центры галактик. При дальнейшем удалении от спутника, тело перейдет на самостоятельную орбиту, вокруг центра главной галактики.
Таким образом, максимальный радиус спутника $\mathfrak{R}_{maxi}$ есть расстояние от центра спутника до первой точки Лангранжа. Найдем это расстояние.
Угловая скорость движения спутника равна

На крайнюю часть спутника, находящегося ближе всего к центру главной галактики, действуют силы притяжения от галактики и самого спутника. Они направлены в противоположные стороны, как показано на рис. 11, и определяют соответствующие ускорения:

Учитывая, что для галактики-спутника можно также записать центростремительное ускорение в виде:

В итоге, (84) можно переписать в виде:

учитывая также, что, как правило, $\mathfrak{R}_{i} \ll \Delta _{0i}$, в итоге получаем

Численные значения $\mathfrak{R}_{maxi}$ для спутников М32 и М110 представлены в таблице 2.
Ответ:
к задаче представлен выражениями (78)-(81), (86), численные значения искомых величин представлены в таблицах 1 и 2. ( $\char"24_{max} = 13$ баллов).