Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. Правило "600" в астрофотографии

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур№1,10–11классы · 15 октомври 2018 г. · 9 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2019. Самара,2018г. Архивная обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара,2019г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Условие

При создании фотографий небосвода с помощью неподвижного штатива важно добиться выполнения условия "точечности звезд". Данное условие может быть нарушено, если время ( $\tau$ ) выдержки фотоаппарата будет больше некоторого предельного значения ( $\tau_{\max}$ ), в результате чего на фотографии появляются светлые полоски – звездные треки (см. рис. 1). Для приближенной оценки времени $\tau_{\max}$ астрономы-любители часто используют правило "600", согласно которому, указанное время определяется формулой:

\tau_{\max}=\frac{600\text{ с}}{F\cdot k},\qquad (2)

где $F$ – фокусное расстояние объектива (выраженное в мм), используемого в астрофотосъемке; $k$ – кроп-фактор матрицы (относительно полнокадровой).

Рис. 1: фотография звездного неба (автор – Алексей Крепак).

Таблица 1: некоторые модели фотоаппаратов и их характеристики. Исходная таблица условия.

Получите более общую формулу для времени $\tau_{\max}$ , в случае зеркальной фотокамеры с $N$ -пиксельной матрицей, размеры которой есть $a\times b$ . При съемке небесного тела, склонение которого $\delta$ , используется объектив с фокусным расстоянием $F$ и относительным отверстием $\chi=D/F$ , где $D$ – диаметр диафрагмы. Для Вас может оказаться полезной теорема Котельникова: для получения дискретного изображения одномерного профиля распределения интенсивности образа звезды необходимо не менее 3 пикселей. Постройте формулы, аналогичные (2) для фотоаппаратов и их объективов, представленных в таблице 1.

Решение

Решение. Каждый пиксель матрицы представляет квадратную ячейку с размерами $\ell\times\ell$ . Величину $\ell$ легко определить, зная размеры матрицы $a\times b$ и количество $N$ пикселей, ее составляющих:

\ell=\sqrt{\frac{a\times b}N}=\frac1k\sqrt{\frac{a_0\times b_0}N}\qquad (43)

здесь $a_0\times b_0$ – размеры полнокадровой матрицы, $k$ – кроп-фактор, связывающий размеры матрицы данного фотоаппарата с размерами $a_0,b_0$ в виде:

k=\frac{a_0}a=\frac{b_0}b.\qquad (44)

Согласно теореме Котельникова, для формирования полноценного образа звезды необходимо использовать, как минимум, три пикселя. Следовательно, пока луч от звезды перемещается по указанным пикселям (см. рис. 9), образ звезды будет отчетливым шариком. Шарообразность звезды не будет нарушена, если луч пройдет не более 3.5 пикселя. В этом случае 4-ый пиксель не сработает. Тогда

\Delta\varphi=\frac{3.5\ell}F=\omega_{\mathrm{vis}}\tau_{\max},\quad\Rightarrow\quad \tau_{\max}=\frac{3.5\ell}{\omega_{\mathrm{vis}}F} =\frac{3.5\sqrt{a_0\times b_0}}{\omega_{\mathrm{vis}}}\frac1{k F\sqrt N},\qquad (45)

где $a_0=36$ мм, $b_0=24$ мм – размеры полнокадровой матрицы, $F$ – фокусное расстояние объектива; $\omega_{\mathrm{vis}}$ – угловая скорость видимого движения звезды, которую можно представить так

\omega_{\mathrm{vis}}=\omega_\oplus\cos\delta,\qquad (46)

где $\omega_\oplus=15''/\text{с}$ – угловая скорость суточного вращения Земли. В результате $\tau_{\max}$ можно представить в виде:

\tau_{\max}=\frac{3.5\sqrt{36\times24}\text{ мм}\;206265''/\text{рад}}{15''/\text{с}\;\cos\delta}\frac1{k F\sqrt N} =\frac{1.4108\cdot10^6\text{ с}}{\cos\delta}\frac1{k F\sqrt N},\qquad (47)

здесь и далее $F$ выражено в мм.

Для звезд с разным склонением мы получаем разное значение $\cos\delta$ . Поскольку $-\pi/2\leq\delta\leq\pi/2$ , то $0\leq\cos\delta\leq1$ , тогда усредним полученное значение:

\langle\cos\delta\rangle=\frac1{(\frac\pi2+\frac\pi2)}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\delta\,d\delta=\frac2\pi.

Тогда

\bar\tau_{\max}=\frac{2.216\cdot10^6\text{ с}}{k F\sqrt N}.\qquad (48)

Одной из первых полноквадратных камер, получивших мировую популярность была Canon Mark I с $N=12.8$ мегапикселей (Мп), ставшая эталоном для сравнения с другими камерами. Для нее формулу можно переписать так

\bar\tau_{\max}=\frac{619\text{ с}}F\approx\frac{600\text{ с}}F.\qquad (49)

Для Canon Mark II с $N=21.1$ Мп. Данную формулу можно записать так

\bar\tau_{\max}=\frac{483\text{ с}}F\approx\frac{500\text{ с}}F.\qquad (50)

Для камер, подобных данной уже работает правило "500". Наиболее общей формулой следует считать формулу (47). Построим для камер, представленных в таблице 1, формулы, подобные (47).

Для Panasonic FZ28:

\tau_{\max}=\frac{78.29\text{ с}}{\cos\delta\,F}.\qquad (51)

В случае экваториальной звезды ( $\delta=0$ ), $\tau_{\max}=0.91\div16.3\text{ с}$ .

Для Panasonic FZ82:

\tau_{\max}=\frac{59.01\text{ с}}{\cos\delta\,F}.\qquad (52)

При данных значениях $F$ для экваториальной звезды ( $\delta=0$ ) имеем $\tau_{\max}=0.27\div16.5\text{ с}$ .

3-4. Для Canon 100D и Canon 600D:

\tau_{\max}=\frac{207.83\text{ с}}{\cos\delta\,F}.\qquad (53)

Для данных значений фокусных расстояний объективов получаем $\tau_{\max}^{100D}=4.2\text{ с}$ и $\tau_{\max}^{600D}=5.9\text{ с}$ , в случае экваториальной звезды.

Для Canon 70D:

\tau_{\max}=\frac{196.19\text{ с}}{\cos\delta\,F},\qquad (54)

при $F=85$ мм, для экваториальной звезды, имеем $\tau_{\max}=2.3\text{ с}$ .

Для Canon 5D Mark IV:

\tau_{\max}=\frac{255.88\text{ с}}{\cos\delta\,F}.\qquad (55)

При данном $F=135$ мм получаем, в случае экваториальной звезды, $\tau_{\max}=1.9\text{ с}$ .

Ответ: к задаче представлен выражениями (47), (51)-(55). (9 баллов).

Таблица 1 в повторном условии ключа: для Canon 5D Mark IV напечатан кроп-фактор 1.0.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем18задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Заголовки называют выпускSAMRAS-2019. Обложка условий печатает «Самара,2018г.», обложка ключа — «Самара,2019г.»; памятка указывает прием работ15.10.2018–15.01.2019. Сохранены18самостоятельных задач, по6на уровняхА,B,C, и все их связанные пункты. Ключ повторяет условия и приложение; отличающаяся таблица1(Canon5D:1.6вусловии,1.0включе) сохранена в обоих вариантах. Включены все решения, исходные численные значения, ссылки и явно обозначенные печатные расхождения. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву с сохранением печатного авторства. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в полном66-страничномпакете нет.

Примечание читателя к задаче17

Примечание читателя: знак перед интегралом после (93), численные значения (102), (104) и ссылка ответа на (96) переданы буквально из архивного ключа. Эти напечатанные утверждения не исправлены скрытым пересчетом.

Примечание читателя к задаче18

Примечание читателя: в условии определено $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ , а ключ перед (107) вводит противоположный вектор $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ . Обе исходные конвенции и соответствующие знаки сохранены. Ключ печатает $G=6.673\cdot10^{-11}$ , справочное приложение — $6.674\cdot10^{-11}$ .

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче1

Примечание читателя: условие просит 3–4 примера и назначает по 1 баллу за каждый; ключ приводит четыре примера, но печатает максимум 3 балла. Оба печатных указания сохранены, поле баллов следует явному максимуму ключа.

Примечание читателя к задаче2

Примечание читателя: фраза ключа «ось мира ... должна лежать в плоскости экватора» сохранена буквально.

Примечание читателя к задаче6

Примечание читателя: ключ явно пренебрегает угловым диаметром Нептуна при вычислении времени; исходное условие с $D_{\text{♆}}=2''$ и определением начала/конца транзита сохранено.

Примечание читателя к задаче9

Примечание читателя: ключ обозначает Меркурий символом ♂; это именно напечатанный знак, сохраненный по оригинальным пикселям. В вычислении (29) напечатано $5.397\cdot10^5$ км, в итоговом ответе $5.396\cdot10^5$ км. Перед формулой (36) исходник ссылается на «(34) и (36)». Эти разночтения не исправлены молча.

Примечание читателя к задаче11

Примечание читателя: исходное условие Q7 печатает для Canon 5D Mark IV $k=1.6$ , повторная таблица ключа K7 – $k=1.0$ . Сохранены обе таблицы; решение ключа не заменяет исходные данные молча. В ключе повторен пункт «5.» перед Canon 5D Mark IV; две отдельные строки не объединены.

Примечание читателя к задаче12

Примечание читателя: перед таблицей3 исходный ключ печатает « $\lambda=430$ км»; буквальное обозначение единицы сохранено и не заменено без обозначения на нм.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf