Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18 о движении двух гравитирующих тел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур№1,10–11классы · 15 октомври 2018 г. · 15 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2019. Самара,2018г. Архивная обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара,2019г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Условие

Предположим, что имеется система двух массивных тел со сферически-симметричным распределением вещества, образующих гравитационно связанную устойчивую физическую систему (например, физически двойная звезда). С использованием основных законов механики,

1 Строго докажите, что импульс центра масс данной системы тел является строго сохраняющейся величиной; [3 т.]

2 Запишите закон изменения радиуса-вектора ( $\vec R_c$ ) центра масс от времени, если в начальный момент его значение было $\vec R_c^{(0)}$ , а вектора скоростей тел – $\vec V_1^{(0)},\vec V_2^{(0)}$ , массы данных тел – $\mathfrak M_1,\mathfrak M_2$ ; [2 т.]

3 Представьте радиуса-векторы ( $\vec r_1,\vec r_2$ ) тел в лабораторной системе отсчета (ЛСО), в терминах $\vec R_c$ и вектора $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ ; [2 т.]

4 Представьте векторы скоростей тел в лабораторной системе отсчета, в терминах скорости центра масс – $\vec V_c$ и вектора $d\vec r/dt=\vec V_2-\vec V_1$ , где $\vec V_1,\vec V_2$ – текущие значения скорости тел в ЛСО; [2 т.]

5 Докажите, что полную энергию системы в ЛСО можно представить в виде двух слагаемых: кинетической энергии центра масс системы + полной механической энергии воображаемой материальной точки ( $\mu$ -точки), масса которой определяется выражением вида:

\mu=\frac{\mathfrak M_1\cdot\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}.\qquad (3)

Покажите, что если полная механическая энергия системы является сохраняющейся величиной, то и энергия $\mu$ -точки сохраняется. [3 т.]

6 Докажите, что полный момент импульса системы в ЛСО можно представить в виде двух слагаемых: момента импульса центра масс системы + момента импульса $\mu$ -точки. Покажите, что если полный момент импульса системы является сохраняющейся величиной, то и момент импульса $\mu$ -точки сохраняется. Сделайте вывод о преимуществе такого представления в описании движения. [3 т.]

Решение

Решение. 1. Рассмотрим физическую систему двух массивных тел со сферически-симметричным распределением вещества, образующих гравитационно связанную устойчивую физическую систему. Данные тела будем моделировать шарами, с массами $\mathfrak M_1$ и $\mathfrak M_2$ (причем $\mathfrak M_1>\mathfrak M_2$ ), гравитационное взаимодействие которых подчиняется закону всемирного тяготения Ньютона:

Рис. 16: к определению радиус-векторов тел системы.

F=\frac{G\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{r^2},\qquad (105)

здесь $r$ – расстояние между телами, $G=6.673\cdot10^{-11}$ Н·м²/кг² – универсальная гравитационная постоянная. Пусть $\vec r_1$ и $\vec r_2$ – радиусы-векторы центров шаров в лабораторной инерциальной системе отсчета (ЛИСО, см. рис. 16). Следовательно, второй закон Ньютона для данных тел можно записать в виде:

\left.\begin{aligned} \mathfrak M_1\ddot{\vec r}_1&=-\frac{G\mathfrak M_1\mathfrak M_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3},\\ \mathfrak M_2\ddot{\vec r}_2&=\frac{G\mathfrak M_1\mathfrak M_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}. \end{aligned}\right\}\qquad (106)

Умножим обе части первого уравнения системы (106) на $\mathfrak M_2$ , а у второго уравнения – на $\mathfrak M_1$ и вычтем из первого уравнение второе, тогда

\mathfrak M_1\mathfrak M_2(\ddot{\vec r}_1-\ddot{\vec r}_2) =-\frac{G\mathfrak M_1\mathfrak M_2(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}.

Перейдем к новой переменной $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ , тогда уравнение принимает вид:

\ddot{\vec r}=-\frac{G(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)\vec r}{|\vec r|^3}.\qquad (107)

Полученное уравнение можно трактовать как уравнение движения материальной $\mu$ -точки, находящейся в гравитационном поле другой неподвижной материальной точки массы $(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)$ . Сложим уравнения системы (106), в итоге имеем

\mathfrak M_1\ddot{\vec r}_1+\mathfrak M_2\ddot{\vec r}_2=0.\qquad (108)

С использованием определения радиуса-вектора центра масс системы

\vec R_c=\frac{\mathfrak M_1\vec r_1+\mathfrak M_2\vec r_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2},\qquad (109)

уравнение (108) можно привести к виду:

\ddot{\vec R}_c=0.

Из последнего уравнения следует, что центр масс системы имеет нулевое ускорение и, следовательно движется с постоянной скоростью $\vec V_c$ :

\vec V_c=\mathrm{const}.\qquad (110)

Из последнего выражения непосредственно следует, что в ЛИСО выполняется закон сохранения импульса центра масс системы:

\vec P_c=(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)\vec V_c=\mathrm{const}.\qquad (111)

Тогда можно легко записать закон изменения радиуса-вектора $\vec R_c$ со временем:

\vec R=\vec R_0+\vec V_ct,\quad\text{где }\vec V_c=\frac{\mathfrak M_1\vec V_1^{(0)}+\mathfrak M_2\vec V_2^{(0)}}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2},\qquad (112)

где $\vec R_0$ – начальное значение радиуса-вектора центра масс; $\vec V_1^{(0)},\vec V_2^{(0)}$ – векторы начальных скоростей тел.

Представим радиуса-векторы $(\vec r_1,\vec r_2)$ тел в ЛИСО, в терминах $\vec R_c$ и вектора $\vec r$ .

\left.\begin{aligned}\vec r&=\vec r_1-\vec r_2,\\ \vec R_c&=\frac{\mathfrak M_1\vec r_1+\mathfrak M_2\vec r_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2} \end{aligned}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{aligned}\vec r_1&=\vec R_c+\frac{\mathfrak M_2\vec r}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2},\\ \vec r_2&=\vec R_c-\frac{\mathfrak M_1\vec r}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}. \end{aligned}\right.\qquad (113)

Представим векторы скоростей тел в ЛИСО, в терминах скорости центра масс – $\vec V_c$ и вектора $d\vec r/dt=\dot{\vec r}$ (для этого продифференцируем по времени предыдущие выражения):

\left.\begin{aligned} \vec V_1=\dot{\vec r}_1&=\vec V_c+\frac{\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}\dot{\vec r}=\vec V_c+\frac\mu{\mathfrak M_1}\dot{\vec r},\\ \vec V_2=\dot{\vec r}_2&=\vec V_c-\frac{\mathfrak M_1}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}\dot{\vec r}=\vec V_c-\frac\mu{\mathfrak M_2}\dot{\vec r}. \end{aligned}\right\}\qquad (114)

здесь $\mu$ – приведенная масса системы, определяемая выражением

\mu=\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}.\qquad (115)

Итак, полная механическая энергия данной системы тел есть

E_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathfrak M_1\dot{\vec r}_1^{\,2}}2+\frac{\mathfrak M_2\dot{\vec r}_2^{\,2}}2 -G\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}.\qquad (116)

Подставим (114) в (116):

\begin{aligned}E_{\mathrm{tot}}&=\frac{\mathfrak M_1}2\left(\vec V_c^{\,2} +2\frac\mu{\mathfrak M_1}\vec V_c\cdot\dot{\vec r}+\left(\frac\mu{\mathfrak M_1}\right)^2\dot{\vec r}^{\,2}\right)\\ &\quad+\frac{\mathfrak M_2}2\left(\vec V_c^{\,2} -2\frac\mu{\mathfrak M_2}\vec V_c\cdot\dot{\vec r}+\left(\frac\mu{\mathfrak M_2}\right)^2\dot{\vec r}^{\,2}\right) -G\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{|\vec r|}\\ &=\frac{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}2\vec V_c^{\,2}+\frac{\mu^2}{2\mathfrak M_1}\dot{\vec r}^{\,2} +\frac{\mu^2}{2\mathfrak M_2}\dot{\vec r}^{\,2}-G\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{|\vec r|}. \end{aligned}

то полную энергию можно представить в виде:

E_{\mathrm{tot}}=E_c+E_\mu,\quad\text{где}\qquad (117)

E_c=\frac{\mathfrak M_c\vec V_c^{\,2}}2,\quad E_\mu=\frac{\mu\dot{\vec r}^{\,2}}2-G\frac{\mathfrak M_c\mu}{r},\qquad (118)

\mathfrak M_c=\mathfrak M_1+\mathfrak M_2,\qquad (119)

здесь $E_c$ – кинетическая энергия центра масс; $E_\mu$ – полная механическая энергия некоторой фиктивной точки – $\mu$ -точки, находящейся в гравитационном поле неподвижной точки (центра масс) с массой $\mathfrak M_c$ .

Как известно, полная механическая энергия системы, в которой действуют лишь потенциальные силы (в данном случае, гравитационные) является сохраняющейся величиной. Очевидно, что $E_c=\mathrm{const}$ , следовательно $E_\mu$ есть также сохраняющаяся величина, поскольку $\mu$ -точка находится лишь в потенциальном гравитационном поле.

См., например, Маркеев А.П. Теоретическая механика: учебник для университетов. – Ижевск: изд-во РХД. – 2007.

Вывод: описание движения исходной системы двух гравитирующих тел сводится к описанию движения фиктивной материальной $\mu$ -точки (с массой $\mu$ ) в гравитационном поле неподвижной материальной точки массы $\mathfrak M_c$ .

Определим полный момент количества движения системы. Исходное выражение можно представить так

\begin{aligned}\vec L_{\mathrm{tot}}&=[\vec r_1,\vec p_1]+[\vec r_2,\vec p_2] =m_1[\vec r_1,\vec v_1]+m_2[\vec r_2,\vec v_2]\\ &=\mathfrak M_1\left[\left(\vec R_c+\frac\mu{\mathfrak M_1}\vec r\right),\left(\vec V_c+\frac\mu{\mathfrak M_1}\dot{\vec r}\right)\right] +\mathfrak M_2\left[\left(\vec R_c-\frac\mu{\mathfrak M_2}\vec r\right),\left(\vec V_c-\frac\mu{\mathfrak M_2}\dot{\vec r}\right)\right]\\ &=(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)[\vec R_c,\vec V_c]+\mu[\vec r,\vec V_c]+\mu[\vec R_c,\dot{\vec r}] +\frac{\mu^2}{\mathfrak M_1}[\vec r,\dot{\vec r}]-\mu[\vec r,\vec V_c]-\mu[\vec R_c,\dot{\vec r}] +\frac{\mu^2}{\mathfrak M_2}[\vec r,\dot{\vec r}]\\ &=\mathfrak M_c[\vec R_c,\vec V_c]+\mu[\vec r,\dot{\vec r}]. \end{aligned}

В итоге имеем

\vec L_{\mathrm{tot}}=\mathfrak M_c[\vec R_c,\vec V_c]+\mu[\vec r,\dot{\vec r}].\qquad (120)

Очевидно первое слагаемое – МКД центра масс системы есть сохраняющаяся величина:

\vec L_c=\mathfrak M_c[(\vec R_0+\vec V_ct),\vec V_c] =\mathfrak M_c\bigl([\vec R_0,\vec V_c]+[\vec V_c,\vec V_c]t\bigr) =\mathfrak M_c[\vec R_0,\vec V_c]=\mathrm{const}.

Из курса механики известно, что если в системе присутствуют лишь центральные силы, то полный МКД системы является сохраняющейся величиной. Следовательно, второе слагаемое в (120) есть МКД $\mu$ -точки, находящейся в центральном силовом (гравитационном) поле, является также сохраняющейся величиной.

См., например, Сивухин Д. В. Общий курс физики. – Изд. 5-е, стереотипное. – М.: ФИЗМАТЛИТ. – 2010. – Т.I. – Механика. – 560с.

Отметим, что описание движения данных тел проще всего выполнить в системе центра масс (СЦМ) – инерциальной системе отсчета, начало которой совпадает с центром масс данных тел. В этом случае, согласно системам выражений (113), (114) радиусы-векторы, и скорости звезд представляются в виде:

\vec r_1=\frac\mu{\mathfrak M_1}\vec r,\quad\vec r_2=-\frac\mu{\mathfrak M_2}\vec r,\quad \vec V_1=\frac\mu{\mathfrak M_1}\dot{\vec r},\quad\vec V_2=-\frac\mu{\mathfrak M_2}\dot{\vec r}.\qquad (121)

В СЦМ уравнение движения $\mu$ -точки, полная энергия и МКД системы представляются в виде:

\left\{\begin{aligned} \ddot{\vec r}&=-G\frac{\mathfrak M_c\vec r}{|\vec r|^3},\\ E_{\mathrm{tot}}=E_\mu&=\frac{\mu\dot{\vec r}^{\,2}}2-G\frac{\mu \mathfrak M_c}{|\vec r|},\\ \vec L_{\mathrm{tot}}&=\mu[\vec r,\dot{\vec r}]. \end{aligned}\right.\qquad (122)

В силу центрального характера гравитационных сил задача об описании движения двух гравитирующих тел сводится к задаче об описании движения лишь одной фиктивной $\mu$ -точки. Описание движения последней составляет суть задачи Кеплера.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем18задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Заголовки называют выпускSAMRAS-2019. Обложка условий печатает «Самара,2018г.», обложка ключа — «Самара,2019г.»; памятка указывает прием работ15.10.2018–15.01.2019. Сохранены18самостоятельных задач, по6на уровняхА,B,C, и все их связанные пункты. Ключ повторяет условия и приложение; отличающаяся таблица1(Canon5D:1.6вусловии,1.0включе) сохранена в обоих вариантах. Включены все решения, исходные численные значения, ссылки и явно обозначенные печатные расхождения. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву с сохранением печатного авторства. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в полном66-страничномпакете нет.

Примечание читателя к задаче17

Примечание читателя: знак перед интегралом после (93), численные значения (102), (104) и ссылка ответа на (96) переданы буквально из архивного ключа. Эти напечатанные утверждения не исправлены скрытым пересчетом.

Примечание читателя к задаче18

Примечание читателя: в условии определено $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ , а ключ перед (107) вводит противоположный вектор $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ . Обе исходные конвенции и соответствующие знаки сохранены. Ключ печатает $G=6.673\cdot10^{-11}$ , справочное приложение — $6.674\cdot10^{-11}$ .

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче1

Примечание читателя: условие просит 3–4 примера и назначает по 1 баллу за каждый; ключ приводит четыре примера, но печатает максимум 3 балла. Оба печатных указания сохранены, поле баллов следует явному максимуму ключа.

Примечание читателя к задаче2

Примечание читателя: фраза ключа «ось мира ... должна лежать в плоскости экватора» сохранена буквально.

Примечание читателя к задаче6

Примечание читателя: ключ явно пренебрегает угловым диаметром Нептуна при вычислении времени; исходное условие с $D_{\text{♆}}=2''$ и определением начала/конца транзита сохранено.

Примечание читателя к задаче9

Примечание читателя: ключ обозначает Меркурий символом ♂; это именно напечатанный знак, сохраненный по оригинальным пикселям. В вычислении (29) напечатано $5.397\cdot10^5$ км, в итоговом ответе $5.396\cdot10^5$ км. Перед формулой (36) исходник ссылается на «(34) и (36)». Эти разночтения не исправлены молча.

Примечание читателя к задаче11

Примечание читателя: исходное условие Q7 печатает для Canon 5D Mark IV $k=1.6$ , повторная таблица ключа K7 – $k=1.0$ . Сохранены обе таблицы; решение ключа не заменяет исходные данные молча. В ключе повторен пункт «5.» перед Canon 5D Mark IV; две отдельные строки не объединены.

Примечание читателя к задаче12

Примечание читателя: перед таблицей3 исходный ключ печатает « $\lambda=430$ км»; буквальное обозначение единицы сохранено и не заменено без обозначения на нм.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf