Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Миф о плоской Луне

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур№1,10–11классы · 15 октомври 2018 г. · 14 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2019. Самара,2018г. Архивная обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара,2019г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Условие

Сторонники плоской Земли дабы удержать в умах необразованных людей свои парадигмы, предложили новый миф – миф о плоской Луне. Согласно их описанию, Луна представляет собой цилиндр, диаметр ( $D$ ) которого много больше толщины ( $L$ ), подобно хоккейной шайбе. Эта "шайба" повернута к нам всегда одной стороной. Полагая, что вещество в теле плоской Луны распределено равномерно по всему ее объему, а его плотность равна средней плотности шарообразной Луны (диаметр плоской Луны равен диаметру шарообразной), определите:

1 Толщину "плоской" Луны, если полагать, что силы притяжения, действующие на Землю, со стороны плоской и шарообразной одинаковы. При этом центр Земли находится на оси симметрии тела Луны, на расстоянии, равном большой полуоси лунной орбиты; [4 т.]

2 Массу Луны; [2 т.]

3 Ускорение свободного падения у поверхности Луны, вблизи ее геометрического центра; [2 т.]

4 Потенциальную энергию гравитационного притяжения Луной пробного тела массы $\Delta m$ , находящегося на оси симметрии плоской Луны на расстоянии $r$ от ее центра, в предположении, что на бесконечности эта энергия равна нулю; [3 т.]

5 Вторую космическую скорость для КА в гравитационном поле Луны, уходящего от ее геометрического центра на бесконечность, вдоль оси симметрии плоской Луны. [3 т.]

Решение

Решение. 1. Поскольку толщина "шайбы" тела Луны много меньше ее диаметра, то для расчета ее силы притяжения будем моделировать данное небесное тело тонким диском диаметра $D$ и поверхностной массовой плотностью $\sigma$ вещества. Мысленно разобьем весь диск на тонкие кольца (см. рис. 14.а) и решим вспомогательную задачу: определим силу притяжения, создаваемую тонким кольцом массы $\mathfrak M$ и радиуса $R$ на пробное точечное тело массы $m$ (см. рис. 14.б), находящееся на оси симметрии кольца, на расстоянии $x$ от его центра. Разобьем кольцо на малые элементы массы $\Delta m$ и рассмотрим два диаметрально противоположных элемента. Их силы притяжения, действующие на пробное тело есть

\vec F_1=\frac{G\Delta m\,m}{r_1^3}\vec r_1,\quad \vec F_2=\frac{G\Delta m\,m}{r_2^3}\vec r_2.\qquad (86)

Рис. 14: к определению силы притяжения пробного тела а) тонким диском, б) тонким кольцом.

Очевидно, что результирующая этих сил есть $\vec F_{\text{рез}}=\vec F_1+\vec F_2$ , а ее проекция на ось OX есть

F_{\text{рез}x}=-\frac{2G\Delta m\,m}{r^2}\cos\alpha.\qquad (87)

здесь учтено, что $r_1=r_2=r$ (в силу аксиальной симметрии системы) и $F_1=F_2=G\Delta m\,m/r^2$ . Из $\triangle ABC$ следует, что

\cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}},\quad r=\sqrt{R^2+x^2}.\qquad (88)

Следовательно,

F_{\text{рез}x}=-\frac{2G\Delta m\,m\,x}{(R^2+x^2)^{3/2}}.\qquad (89)

Выполним суммирование всех сил притяжения, действующих со стороны всех пар элементов,

F_{\mathrm{tot}x}=\sum F_{\text{рез}x}=-\frac{Gmx}{(R^2+x^2)^{3/2}}\sum2\Delta m =-\frac{Gm\mathfrak M x}{(R^2+x^2)^{3/2}}.\qquad (90)

Вернемся к задаче о тонком диске и определим силу притяжения одного тонкого кольца диска. Согласно выражению (90),

dF_y=-\frac{Gm\,d\mathfrak M\,y}{(r^2+y^2)^{3/2}}.\qquad (91)

Массу тонкого кольца можно представить как

d\mathfrak M=\sigma\,dS=\sigma2\pi r\,dr,\qquad (92)

здесь $dS$ – площадь тонкого кольца; учтено также, что $dS=2\pi r\,dr$ (по аналогии с площадью прямоугольника).

Следовательно, элементарную силу можно записать так:

dF_y=-\frac{2\pi Gm\sigma yr\,dr}{(r^2+y^2)^{3/2}}.\qquad (93)

Проинтегрируем последнее уравнение: в левой части – по всем элементарным силам, а в правой части – по всем радиусам элементарных колец

\int dF_y=2\pi Gm\sigma y\int_0^R\frac{r\,dr}{(r^2+y^2)^{3/2}},\quad\Rightarrow\quad F_{\mathrm{tot}y}=-2\pi Gmy\sigma\left(\frac1{|y|}-\frac1{\sqrt{R^2+y^2}}\right).

или

F_{\mathrm{tot}y}=-2\pi Gm\sigma\left(\operatorname{sign}y-\frac y{\sqrt{D^2/4+y^2}}\right),\qquad (94)

где $\operatorname{sign}y=1$ при $y\geq0$ и $\operatorname{sign}y=-1$ при $y<0$ .

В случае шарообразной Луны

F_{\mathrm{tot}}=\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{a_{\text{☾}}^2}.\qquad (95)

Поскольку в случае плоской Луны $y=a_{\text{☾}}$ – большая полуось лунной орбиты,

\sigma=\frac{\rho_{\text{ш}}V}{\pi\mathfrak R_{\text{☾}}^2}=\rho_{\text{ш}}L =\frac{6\mathfrak M_{\text{☾}}}{\pi D^3}L.\qquad (96)

Приравняем данные силы $|F_{\mathrm{tot}y}|=F_{\mathrm{tot}}$ , $\Rightarrow$

2\pi Gm\frac{6\mathfrak M_{\text{☾}}}{\pi D^3}L \left(1-\frac{a_{\text{☾}}}{\sqrt{D^2/4+a_{\text{☾}}^2}}\right) =\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{a_{\text{☾}}^2},\quad\Rightarrow

L=\frac{D^3}{12a_{\text{☾}}^2}\left(1-\frac{a_{\text{☾}}}{\sqrt{a_{\text{☾}}^2+D^2/4}}\right)^{-1} =\frac{2\mathfrak R_{\text{☾}}^3}{3a_{\text{☾}}^2} \left(1-\frac{a_{\text{☾}}}{\sqrt{a_{\text{☾}}^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}}\right)^{-1} =2317\text{ км}.\qquad (97)

Для толщины "шайбы" тела Луны можно получить упрощенное выражение:

L=\frac{2\mathfrak R_{\text{☾}}^3}{3a_{\text{☾}}^2} \left[1-\left(1+\frac{\mathfrak R_{\text{☾}}^2}{a_{\text{☾}}^2}\right)^{-1/2}\right]^{-1} \approx\frac{2\mathfrak R_{\text{☾}}^3}{3a_{\text{☾}}^2} \left(1-1+\frac12\frac{\mathfrak R_{\text{☾}}^2}{a_{\text{☾}}^2}\right)^{-1} =\frac43\mathfrak R_{\text{☾}}=2317\text{ км}.

При записи последнего результата учтено, что $\mathfrak R_{\text{☾}}\ll a_{\text{☾}}$ . Очевидно, что условие $L\ll D$ не выполняется при условии – плотность плоской Луны равна средней плотности шарообразной Луны. Следовательно, модель тонкого диска для корректного описания гравитационного поля Луны, строго говоря, не применима. Попытаемся уточнить ее. Будем моделировать Луну однородным цилиндром с диаметром $D$ и длиной $L$ (см. рис. 15). Рассмотрим тонкий однородный диск в теле цилиндра толщины $dz$ , центр которого находится в точке $C$ с координатой $z$ . Будем полагать, что пробное тело массы $m$ находится на положительной части оси OZ, на расстоянии $a>L/2$ от начала координат $O$ . Тогда,

Рис. 15: к определению силы притяжения однородным цилиндром.

элементарную силу притяжения, действующую на пробное тело со стороны тонкого диска можно записать, согласно (94) и (96) так

dF_z=-\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \left[\operatorname{sign}(a-z)-\frac{a-z}{\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+(a-z)^2}}\right]dz.\qquad (98)

Проинтегрируем последнее уравнение: в левой части – по всем элементарным силам, действующим со стороны элементарных дисков на данное пробное тело, а в правой части – по координате $z$ в пределах длины цилиндра:

F_{\mathrm{tot}z}=-\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \left[L\operatorname{sign}(a)+\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+(a-L/2)^2} -\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+(a+L/2)^2}\right].\qquad (99)

В случае $a=a_{\text{☾}}$ выполняется условие $\mathfrak R_{\text{☾}},L\ll a_{\text{☾}}$ , тогда последний результат можно записать в упрощенной форме:

\begin{aligned}F_{\mathrm{tot}z}&=-\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \left[L+a\sqrt{1-\left(\frac La-\frac{L^2}{4a^2}-\frac{\mathfrak R_{\text{☾}}^2}{a^2}\right)} -a\sqrt{1+\left(\frac La+\frac{L^2}{4a^2}+\frac{\mathfrak R_{\text{☾}}^2}{a^2}\right)}\right]\\ &\approx-\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \frac12\frac{L\mathfrak R_{\text{☾}}^2}{a^2} =-\frac34\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{a^2}\frac L{\mathfrak R_{\text{☾}}}. \end{aligned}\qquad (100)

При записи последнего выражения было использовано приближение вида:

\sqrt{1+x}\approx1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3.

Данное приближение есть результат разложения указанной функции в ряд Маклорена и удержание слагаемых по переменной $x$ вплоть до $x^3$ .

Приравнивая (95) и модуль выражения (100), получаем значение для $L$ : $L=\frac43\mathfrak R_{\text{☾}}=2317$ км. Т.о., более точная модель цилиндрической Луны дает тот же результат что и модель тонкого диска.

Масса "плоской Луны" есть

\mathfrak M_{\text{☾}}'=\rho_{\text{ш}}\frac{\pi D^2}{4}L =\frac{6\mathfrak M_{\text{☾}}}{\pi D^3}\frac{\pi D^2}{4}\frac43\mathfrak R_{\text{☾}} =\mathfrak M_{\text{☾}}=7.348\cdot10^{22}\text{ кг}.\qquad (101)

Т.о., масса плоской Луны равна массе шарообразной Луны (что и следовало ожидать при условии $\mathfrak R_{\text{☾}}\ll a_{\text{☾}}$ ).

Определим ускорение свободного падения у поверхности Луны, вблизи ее геометрического центра. Согласно (99), при $a=L/2$ , имеем

F_{\mathrm{tot}}=\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \left[L+\mathfrak R_{\text{☾}}-\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+L^2}\right]=m g_{\text{☾}}^{(c)},\quad\Rightarrow

g_{\text{☾}}^{(c)}=\frac32\frac{G\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \left[L+\mathfrak R_{\text{☾}}-\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+L^2}\right] =1.62\text{ м/с}^2=g_{\text{☾}}^{(0)},\qquad (102)

где $g_{\text{☾}}^{(0)}=1.62$ м/с² – ускорение свободного падения на поверхности шарообразной Луны.

Для вычисления потенциальной энергии воспользуемся связью между работой и изменением потенциальной энергии

U_r-U_\infty=A=\int_r^\infty F_{\mathrm{tot}\,a}\,da =-\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \int_r^\infty da\left[L\operatorname{sign}(a)+\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+(a-L/2)^2} -\sqrt{\mathfrak R_{\text{☾}}^2+(a+L/2)^2}\right],\quad\Rightarrow

\begin{aligned}U_r=U(r)&=\frac32\frac{Gm\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \Bigg[Lr+\frac12\left(r-\frac L2\right)\sqrt{\left(r-\frac L2\right)^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}\\ &\quad+\frac12\mathfrak R_{\text{☾}}^2\ln\left[\left(r-\frac L2\right)+\sqrt{\left(r-\frac L2\right)^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}\right]\\ &\quad-\frac12\left(r+\frac L2\right)\sqrt{\left(r+\frac L2\right)^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}\\ &\quad-\frac12\mathfrak R_{\text{☾}}^2\ln\left[\left(r+\frac L2\right)+\sqrt{\left(r+\frac L2\right)^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}\right]\Bigg]. \end{aligned}\qquad (103)

При записи последнего результата учтено, что на бесконечности $U_\infty=0$ .

Для определения второй космической скорости, учтем, что при данном значении $V_{\mathrm{II}}$ полная механическая энергия должна быть равна нулю (у торцевой поверхности цилиндра, в его геометрическом центре):

U(L/2)+\frac{mV_{\mathrm{II}}^2}{2}=0,\quad\Rightarrow

V_{\mathrm{II}}= \sqrt{\frac{3G\mathfrak M_{\text{☾}}}{\mathfrak R_{\text{☾}}^3} \left[\frac{\mathfrak R_{\text{☾}}^2}{2}\ln\frac{L+\sqrt{L^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}}{\mathfrak R_{\text{☾}}} +\frac L2\left(\sqrt{L^2+\mathfrak R_{\text{☾}}^2}-L\right)\right]} =2.46\text{ км/с}.\qquad (104)

Заметим, что модель плоского диска дает тоже значение скорости. Следовательно, нарушение условия $L\ll D$ не сказывается на итоговом результате для $V_{\mathrm{II}}$ .

Ответ: к задаче представляется выражениями (96), (101), (102), (103), (104). ( $\char36max=14$ баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем18задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Заголовки называют выпускSAMRAS-2019. Обложка условий печатает «Самара,2018г.», обложка ключа — «Самара,2019г.»; памятка указывает прием работ15.10.2018–15.01.2019. Сохранены18самостоятельных задач, по6на уровняхА,B,C, и все их связанные пункты. Ключ повторяет условия и приложение; отличающаяся таблица1(Canon5D:1.6вусловии,1.0включе) сохранена в обоих вариантах. Включены все решения, исходные численные значения, ссылки и явно обозначенные печатные расхождения. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву с сохранением печатного авторства. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в полном66-страничномпакете нет.

Примечание читателя к задаче17

Примечание читателя: знак перед интегралом после (93), численные значения (102), (104) и ссылка ответа на (96) переданы буквально из архивного ключа. Эти напечатанные утверждения не исправлены скрытым пересчетом.

Примечание читателя к задаче18

Примечание читателя: в условии определено $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ , а ключ перед (107) вводит противоположный вектор $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ . Обе исходные конвенции и соответствующие знаки сохранены. Ключ печатает $G=6.673\cdot10^{-11}$ , справочное приложение — $6.674\cdot10^{-11}$ .

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче1

Примечание читателя: условие просит 3–4 примера и назначает по 1 баллу за каждый; ключ приводит четыре примера, но печатает максимум 3 балла. Оба печатных указания сохранены, поле баллов следует явному максимуму ключа.

Примечание читателя к задаче2

Примечание читателя: фраза ключа «ось мира ... должна лежать в плоскости экватора» сохранена буквально.

Примечание читателя к задаче6

Примечание читателя: ключ явно пренебрегает угловым диаметром Нептуна при вычислении времени; исходное условие с $D_{\text{♆}}=2''$ и определением начала/конца транзита сохранено.

Примечание читателя к задаче9

Примечание читателя: ключ обозначает Меркурий символом ♂; это именно напечатанный знак, сохраненный по оригинальным пикселям. В вычислении (29) напечатано $5.397\cdot10^5$ км, в итоговом ответе $5.396\cdot10^5$ км. Перед формулой (36) исходник ссылается на «(34) и (36)». Эти разночтения не исправлены молча.

Примечание читателя к задаче11

Примечание читателя: исходное условие Q7 печатает для Canon 5D Mark IV $k=1.6$ , повторная таблица ключа K7 – $k=1.0$ . Сохранены обе таблицы; решение ключа не заменяет исходные данные молча. В ключе повторен пункт «5.» перед Canon 5D Mark IV; две отдельные строки не объединены.

Примечание читателя к задаче12

Примечание читателя: перед таблицей3 исходный ключ печатает « $\lambda=430$ км»; буквальное обозначение единицы сохранено и не заменено без обозначения на нм.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf