Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Природа планеты-"бродяги"

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур№1,10–11классы · 15 октомври 2018 г. · 13 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2019. Самара,2018г. Архивная обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара,2019г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Условие

Планета-"бродяга" – это планета, преодолевшая гравитационное притяжение материнской звезды и ушедшая в межзвездное пространство. Причиной выхода из планетарной системы, как правило, служит гравитационный маневр, совершаемый близко расположенной планетой-гигантом, подобной Юпитеру. В 2011 году исследования ученых показали, что на данных планетах могут быть условия, пригодные для существования жизни. Как показывают исследования, температура поверхности этих планет является низкой и составляет около $T_s=30\text{ К}$ , при этом температура в центре такой планеты может достигать значений $T_c=10^4\text{ К}$ . Основным источником энергии в теле таких планет являются реакции радиоактивного распада. Будем представлять планету однородным шаром радиуса $R$ , с равномерным распределением радиоактивного вещества по всему ее объему. Атмосфера у планеты отсутствует и последняя непрерывно излучает энергию в межзвездное пространство. Период полураспада радиоактивных элементов составляет $\tau_{1/2}=3.76\cdot10^8$ лет. Полагая, что поверхность планеты излучает подобно абсолютно черному телу, а поток тепловой энергии внутри данного тела пропорционален радиальному перепаду температуры $\Delta T/\Delta r$ , определите:

1 Настоящую температуру в точке планеты, отстоящей от ее центра на $r=R/2$ ; [4 т.]

2 Температуру на поверхности планеты ( $T_s'$ ) через 5 млрд лет; [5 т.]

3 Температуру в центре планеты ( $T_c'$ ) через 5 млрд лет. [4 т.]

Решение

Решение. 1. Рассмотрим тепловой поток внутри планеты через сферу радиусом $r<R$ (см. рис. 13):

\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_r=\kappa4\pi r^2\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|.\qquad (78)

где $\kappa$ – коэффициент, характеризующий теплопроводимость планеты. Поскольку охлаждение планеты происходит очень медленно, будем считать, что в каждый момент времени любой малой объем планеты находится в состоянии теплового равновесия.

Тогда через нашу сферу, в единицу времени проходит такое количество энергии, которое выделяется внутри нее, а через поверхность планеты – внутри всей планеты:

\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_R=4\pi R^2\sigma T_s^4.\qquad (79)

где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана. Поскольку радиоактивные элементы распределены равномерно по всему объему планеты, то

\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_r=\frac{r^3}{R^3}\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_R=\frac{r^3}{R^3}4\pi R^2\sigma T_s^4=\kappa4\pi r^2\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|.

Из последнего равенства следует

\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|=\frac{\sigma T_s^4}{\kappa R}r,\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta T}{\Delta r}=-\frac{\sigma T_s^4}{\kappa R}r.\qquad (80)

Далее одним из двух альтернативных методов (либо непосредственным интегрированием дифференциального аналога уравнения (80) или методом малых приращений для линейной функции) можно получить уравнение вида:

T(r)-T_s=\frac{\sigma T_s^4}{2\kappa R}(R^2-r^2).\qquad (81)

Поскольку $T(0)=T_c$ , последнее выражение можно привести к виду:

\frac{T(r)-T_s}{T_c-T_s}=\frac{R^2-r^2}{R^2},\quad\Rightarrow\quad T(r)=T_s+(T_c-T_s)\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right).\qquad (82)

Из последнего результата вытекает:

T(R/2)=\frac34T_c+\frac14T_s\approx7.5\cdot10^3\text{ К}.\qquad (83)

За время $t_0=5\cdot10^9$ лет количество радиоактивных ядер уменьшится в

k=\frac{N_0}{N(t_0)}=2^{t_0/\tau_{1/2}}=10070\approx10^4\text{ раз}.\qquad (84)

Это означает, что количество источников энергии и, следовательно, выделяемая ими энергия также уменьшится в $k$ раз. Вся эта энергия излучается с поверхности планеты и, так как мощность излучения пропорциональна $T^4$ , температура поверхности за 5 млрд. лет уменьшится в 10 раз, т.е. $T_s'=3$ К.

Найдем температуру в центре планеты через $t_0=5\cdot10^9$ лет. Очевидно, при $r=0$ из выражения (81) получаем:

T_c-T_s=\frac{\sigma R}{2\kappa}T_s^4,\qquad T_c'-T_s'=\frac{\sigma R}{2\kappa}T_s'^4.

Следовательно,

\frac{T_c'-T_s'}{T_c-T_s}=\left(\frac{T_s'}{T_s}\right)^4=\frac1k,\quad\Rightarrow\quad T_c'=T_s'+\frac1k(T_c-T_s)\approx4\text{ К}.\qquad (85)

Т.о., за время $t_0$ в теле планеты фактически установится глобальное тепловое равновесие с окружающей межзвездной средой (температура последней составляет $\approx2.7$ К).

Ответ: к задаче представляется выражениями (83), (85); $T_s'=3$ К.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем18задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Заголовки называют выпускSAMRAS-2019. Обложка условий печатает «Самара,2018г.», обложка ключа — «Самара,2019г.»; памятка указывает прием работ15.10.2018–15.01.2019. Сохранены18самостоятельных задач, по6на уровняхА,B,C, и все их связанные пункты. Ключ повторяет условия и приложение; отличающаяся таблица1(Canon5D:1.6вусловии,1.0включе) сохранена в обоих вариантах. Включены все решения, исходные численные значения, ссылки и явно обозначенные печатные расхождения. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву с сохранением печатного авторства. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в полном66-страничномпакете нет.

Примечание читателя к задаче17

Примечание читателя: знак перед интегралом после (93), численные значения (102), (104) и ссылка ответа на (96) переданы буквально из архивного ключа. Эти напечатанные утверждения не исправлены скрытым пересчетом.

Примечание читателя к задаче18

Примечание читателя: в условии определено $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ , а ключ перед (107) вводит противоположный вектор $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ . Обе исходные конвенции и соответствующие знаки сохранены. Ключ печатает $G=6.673\cdot10^{-11}$ , справочное приложение — $6.674\cdot10^{-11}$ .

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче1

Примечание читателя: условие просит 3–4 примера и назначает по 1 баллу за каждый; ключ приводит четыре примера, но печатает максимум 3 балла. Оба печатных указания сохранены, поле баллов следует явному максимуму ключа.

Примечание читателя к задаче2

Примечание читателя: фраза ключа «ось мира ... должна лежать в плоскости экватора» сохранена буквально.

Примечание читателя к задаче6

Примечание читателя: ключ явно пренебрегает угловым диаметром Нептуна при вычислении времени; исходное условие с $D_{\text{♆}}=2''$ и определением начала/конца транзита сохранено.

Примечание читателя к задаче9

Примечание читателя: ключ обозначает Меркурий символом ♂; это именно напечатанный знак, сохраненный по оригинальным пикселям. В вычислении (29) напечатано $5.397\cdot10^5$ км, в итоговом ответе $5.396\cdot10^5$ км. Перед формулой (36) исходник ссылается на «(34) и (36)». Эти разночтения не исправлены молча.

Примечание читателя к задаче11

Примечание читателя: исходное условие Q7 печатает для Canon 5D Mark IV $k=1.6$ , повторная таблица ключа K7 – $k=1.0$ . Сохранены обе таблицы; решение ключа не заменяет исходные данные молча. В ключе повторен пункт «5.» перед Canon 5D Mark IV; две отдельные строки не объединены.

Примечание читателя к задаче12

Примечание читателя: перед таблицей3 исходный ключ печатает « $\lambda=430$ км»; буквальное обозначение единицы сохранено и не заменено без обозначения на нм.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf