Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. Плоская Земля и ее толщина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур№1,10–11классы · 15 октомври 2018 г. · 13 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2019. Самара,2018г. Архивная обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара,2019г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Условие

В настоящее время одним из самых популярных заблуждений об устройстве окружающего мира, бытующих в обществе – это миф о плоской Земле. Предположим (от противного), что наша Земля представляет собой безграничный однородной плоский слой вещества толщины $L$ . Полагая, что средняя плотность шарообразной Земли равна плотности слоя, определите (с использованием теоремы Гаусса для напряженности гравитационного поля) величину $L$ , при которой ускорение свободного падения на поверхности плоской Земли будет таким же как и на поверхности шарообразной.

Решение

Дано: $\rho_{\text{ш}}=\rho_c$ . Найти: $L$ – ?

Решение. Определим, прежде всего, плотность и ускорение свободного падения в случае шарообразной Земли:

\rho_{\text{ш}}=\frac{\mathfrak M_\oplus}{\frac{4\pi}{3}\mathfrak R_\oplus^3}=5.52\cdot10^3\text{ кг/м}^3,\quad g_{\text{ш}}=\frac{G\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak R_\oplus^2}=9.81\text{ м/с}^2.\qquad (69)

Рассмотрим безграничный однородный слой толщины $L$ (см. рис. 12). Выберем декартову систему координат так, как показано на рисунке. Начало отсчета системы (точка $O$ ) лежит в плоскости симметрии данного слоя. Запишем теорему Гаусса для гравитационного поля в интегральной форме: поток вектора напряженности гравитационного поля через замкнутую поверхность равен произведению $-4\pi$ на гравитационную постоянную $G$ и полную массу вещества $\mathfrak M_{\mathrm{tot}}$ , находящуюся внутри замкнутой поверхности:

Рис. 12: к определению толщины безграничного слоя.

\oint_S(\vec E\cdot\vec n)\,dS=-4\pi G\mathfrak M_{\mathrm{tot}},\qquad (70)

здесь $E$ – напряженность гравитационного поля – векторная физическая величина, являющаяся количественной характеристикой действия данного гравитационного поля (посредством силы $\vec F_{\mathrm{at}}$ ) на пробное тело массы $m$ , помещенное в него:

\vec E=\frac{\vec F_{\mathrm{at}}}{m}.\qquad (71)

Значок « $\oint_S$ » в (70) означает интегрирование по замкнутой поверхности, $\vec n$ – единичный вектор – нормаль к элементарной площадке $dS$ замкнутой поверхности.

Как известно, вектор $\vec E$ всегда направлен по касательной к силовой линии гравитационного поля. В силу зеркальной симметрии распределения вещества в бесконечном слое, вектор $\vec E$ также должен обладать зеркальной симметрией в пространстве. Очевидно, что силовые линии должны быть перпендикулярны слою, а следовательно, вектор $\vec E$ должен быть противоположно направлен по отношению к внешней нормали слоя и $(\vec E\cdot\vec n)=-|\vec E|=-E$ .

В качестве замкнутой поверхности выберем параллелепипед ABCD длины $2x$ , высоты $2y$ и ширины $2z$ (не показано на рис. 12). Следовательно, поток вектора через замкнутую поверхность можно представить в виде суммы потоков поля через боковую поверхность и основания параллелепипеда:

\oint_S(\vec E\cdot\vec n)\,dS=2\int_{S_{\text{осн}}}(\vec E\cdot\vec n)\,dS+\int_{S_{\text{бок}}}(\vec E\cdot\vec n)\,dS.\qquad (72)

Очевидно, что последний интеграл в (72) будет равен нулю, поскольку нормаль боковой поверхности перпендикулярна вектору $\vec E$ и, следовательно $(\vec E\cdot\vec n)=0$ . В случае оснований: $\vec E\uparrow\downarrow\vec n,\Rightarrow(\vec E\cdot\vec n)=-E$ . Поскольку точки оснований параллелепипеда равноудалены от плоскости симметрии слоя, следовательно, и поле $E$ во всех этих точках будет одно и то же, тогда

2\int_{S_{\text{осн}}}(\vec E\cdot\vec n)\,dS=-2E\int_{S_{\text{осн}}}dS=-2ES_{\text{осн}}.\qquad (73)

Определим массу параллелепипеда

\mathfrak M_{\mathrm{tot}}=\rho_c S_{\text{осн}}2y.\qquad (74)

С учетом (72)–(74), уравнение (70) можно переписать в виде

-2ES_{\text{осн}}=-4\pi G\rho_c S_{\text{осн}}2y,\quad\Rightarrow\quad E=4\pi G\rho_c y.\qquad (75)

Последний результат определяет зависимость напряженности гравитационного поля внутри безграничного слоя от расстояния до плоскости его симметрии. Для поверхности слоя $y=L/2$ , $E$ представляется в виде:

E=4\pi G\rho_c\left(\frac L2\right).\qquad (76)

С другой стороны, в отсутствии вращения Земли, напряженность гравитационного поля равна ускорению свободного падения $E=g_c=g_{\text{ш}}$ , тогда

2\pi G\left(\frac{3\mathfrak M_\oplus}{4\pi\mathfrak R_\oplus^3}\right)L=\frac{G\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak R_\oplus^2},\quad\Rightarrow\quad L=\frac23\mathfrak R_\oplus=4247\text{ км}.\qquad (77)

Ответ: $L=\frac23\mathfrak R_\oplus=4247$ км. ( $\char36max=13$ баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем18задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Заголовки называют выпускSAMRAS-2019. Обложка условий печатает «Самара,2018г.», обложка ключа — «Самара,2019г.»; памятка указывает прием работ15.10.2018–15.01.2019. Сохранены18самостоятельных задач, по6на уровняхА,B,C, и все их связанные пункты. Ключ повторяет условия и приложение; отличающаяся таблица1(Canon5D:1.6вусловии,1.0включе) сохранена в обоих вариантах. Включены все решения, исходные численные значения, ссылки и явно обозначенные печатные расхождения. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву с сохранением печатного авторства. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в полном66-страничномпакете нет.

Примечание читателя к задаче17

Примечание читателя: знак перед интегралом после (93), численные значения (102), (104) и ссылка ответа на (96) переданы буквально из архивного ключа. Эти напечатанные утверждения не исправлены скрытым пересчетом.

Примечание читателя к задаче18

Примечание читателя: в условии определено $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ , а ключ перед (107) вводит противоположный вектор $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ . Обе исходные конвенции и соответствующие знаки сохранены. Ключ печатает $G=6.673\cdot10^{-11}$ , справочное приложение — $6.674\cdot10^{-11}$ .

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче1

Примечание читателя: условие просит 3–4 примера и назначает по 1 баллу за каждый; ключ приводит четыре примера, но печатает максимум 3 балла. Оба печатных указания сохранены, поле баллов следует явному максимуму ключа.

Примечание читателя к задаче2

Примечание читателя: фраза ключа «ось мира ... должна лежать в плоскости экватора» сохранена буквально.

Примечание читателя к задаче6

Примечание читателя: ключ явно пренебрегает угловым диаметром Нептуна при вычислении времени; исходное условие с $D_{\text{♆}}=2''$ и определением начала/конца транзита сохранено.

Примечание читателя к задаче9

Примечание читателя: ключ обозначает Меркурий символом ♂; это именно напечатанный знак, сохраненный по оригинальным пикселям. В вычислении (29) напечатано $5.397\cdot10^5$ км, в итоговом ответе $5.396\cdot10^5$ км. Перед формулой (36) исходник ссылается на «(34) и (36)». Эти разночтения не исправлены молча.

Примечание читателя к задаче11

Примечание читателя: исходное условие Q7 печатает для Canon 5D Mark IV $k=1.6$ , повторная таблица ключа K7 – $k=1.0$ . Сохранены обе таблицы; решение ключа не заменяет исходные данные молча. В ключе повторен пункт «5.» перед Canon 5D Mark IV; две отдельные строки не объединены.

Примечание читателя к задаче12

Примечание читателя: перед таблицей3 исходный ключ печатает « $\lambda=430$ км»; буквальное обозначение единицы сохранено и не заменено без обозначения на нм.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf