Съдържание

Самара 2019, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Выбор бюджетного рефлектора со сферическим зеркалом

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур№1,10–11классы · 15 октомври 2018 г. · 12 т.

Исходные обложки и сезон

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА. САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА. ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИИ СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№1. Условия конкурсных задач. SamRAS-2019. Самара,2018г. Архивная обложка ключа печатает «Условия и решения конкурсных задач» и «Самара,2019г.».

Исходные общие указания

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №1 на проверку: 15.10.2018-15.01.2019!!!
Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Авторство и ссылка исходного ключа

Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

«Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Условие

Одной из первых трудностей, встающих на пути начинающего астронома-любителя, является выбор первого недорого телескопа с хорошим качеством изображения. Самые дешевые рефракторы-ахроматы страдают от остаточной хроматической аберрации и своими силами ее не устранить! Поэтому естественным образом внимание астронома концентрируется на бюджетных рефлекторах со сферическим зеркалом. Однако, из-за сферической аберрации на его диаметр накладываются жесткие ограничения. Вычислите радиус круга сферической аберрации в фокусе главного сферического зеркала телескопа с диаметром $D$ и фокусным расстоянием $F$ , в случае, когда источником света является звезда, расположенная на главной оптической оси зеркала. Вычислите для телескопа с фокусным расстоянием $F=0.9\text{ м}$ максимально допустимый диаметр сферического зеркала, при условии, чтобы радиус круга сферической аберрации должен быть не более чем в 1.8 раза больше радиуса дифракционного круга Эйри на длине волны 555 нм? Какую модель рефлектора (из ныне продающихся в магазинах) Вы посоветуете купить астроному-любителю, опираясь на проведенный анализ?

Решение

Решение. Рассмотрим луч, идущий вдоль оптической оси на расстоянии $h$ от последней (см. рис. 11). Этот луч, отразившись от зеркала, пересечет оптическую ось на расстоянии $x$ от центра кривизны. Пусть угол отражения равен $\alpha$ . Тогда c учетом закона отражения светового луча, из треугольника $\triangle OAB$ следует, что

Рис. 11: к определению искомой величины.

\sin\alpha=\frac h{2f}.\qquad (63)

Отметим, что угол $\angle AOC$ между оптической осью зеркала и радиусом, проведенным в точку падения луча, также равен $\alpha$ . Воспользуемся теоремой синусов для $\triangle OAD$ :

\frac{x}{\sin\alpha}=\frac{2f}{\sin(\pi-2\alpha)};\quad x=2f\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha}=\frac f{\cos\alpha}=f\frac1{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}.

Из последнего результата очевидно, что чем дальше от оптической оси шел луч до отражения, тем дальше от фокуса он пересечет оптическую ось после отражения и, следовательно, тем дальше от оптической оси попадет на фокальную плоскость. Расстояние от точки пересечения оптической оси до фокуса составит

\delta=x-f=f\left(\frac1{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}-1\right)\approx f\frac{\sin^2\alpha}{2}=\frac{h^2}{8f}.\qquad (64)

Полученная величина называется продольной сферической аберрацией. Продолжая свой путь, луч пересечет фокальную плоскость на расстоянии $y$ от оптической оси. Поскольку $\delta$ и $y$ – стороны прямоугольного треугольника, то

y=\delta\tan2\alpha=f\frac{\sin^2\alpha}{2}\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1-2\sin^2\alpha} =f\frac{\sin^3\alpha\cos\alpha}{1-2\sin^2\alpha}\approx f\sin^3\alpha=\frac{h^3}{8f^2}.\qquad (65)

При записи последнего выражения, учтено, что угол $\alpha$ является малым (в случае параксиальных лучей). Самое большое отклонение притерпит луч, попадающий на край зеркала, т.е. при $h=D/2$ (где $D$ – диаметр зеркала):

y_{\max}=f\sin^3\alpha_{\max}=\frac{D^3}{64f^2}.\qquad (66)

Эта величина называется радиусом кружка поперечной сферической аберрации.

В тоже время, точечный источник, из-за дифракции света, будет виден в виде кружка (кружка Эйри) с угловым радиусом $\beta=1.22\lambda/D$ . Таким образом, в фокальной плоскости получится кружок размером

r_d=f\beta=1.22\lambda\left(\frac fD\right).\qquad (67)

Согласно условию задачи, радиус кружка сферической аберрации должен быть не более $1.8r_d$ , т.е.

y_{\max}\leq1.8r_d,\quad\Rightarrow\quad\frac{D^3}{64f^2}\leq1.8\cdot1.22\lambda\left(\frac fD\right),\quad\Rightarrow\quad D\leq\sqrt[4]{140.544f^3\lambda}.\qquad (68)

В случае $F=0.9$ м, при $\lambda=555$ нм имеем

D\leq0.09\text{ м}=90\text{ мм}.

Наиболее близки к данному ограничению (но все же имеют чуть больший диаметр сферического зеркала) такие модели как Sky-Watcher BK 1149EQ2, Synta BK 1149EQ1, Veber PolarStar 900/114 EQ.

Ответ: к задаче представляется выражениями (66), (68); Sky-Watcher BK 1149EQ2, Synta BK 1149EQ1, Veber PolarStar 900/114 EQ. ( $\char36max=12$ баллов).

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, исходные таблицы и диаграммы ко всем18задачам помещены после условия задачи1. Они относятся ко всему выпуску, не являются дополнительной задачей.

Примечание читателя: исходные издания и ошибки

Заголовки называют выпускSAMRAS-2019. Обложка условий печатает «Самара,2018г.», обложка ключа — «Самара,2019г.»; памятка указывает прием работ15.10.2018–15.01.2019. Сохранены18самостоятельных задач, по6на уровняхА,B,C, и все их связанные пункты. Ключ повторяет условия и приложение; отличающаяся таблица1(Canon5D:1.6вусловии,1.0включе) сохранена в обоих вариантах. Включены все решения, исходные численные значения, ссылки и явно обозначенные печатные расхождения. Самостоятельная публикация этих архивных байтов организатором не установлена; решения атрибутированы архиву с сохранением печатного авторства. Дополнительных песенных или стихотворных материалов в полном66-страничномпакете нет.

Примечание читателя к задаче17

Примечание читателя: знак перед интегралом после (93), численные значения (102), (104) и ссылка ответа на (96) переданы буквально из архивного ключа. Эти напечатанные утверждения не исправлены скрытым пересчетом.

Примечание читателя к задаче18

Примечание читателя: в условии определено $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ , а ключ перед (107) вводит противоположный вектор $\vec r=\vec r_1-\vec r_2$ . Обе исходные конвенции и соответствующие знаки сохранены. Ключ печатает $G=6.673\cdot10^{-11}$ , справочное приложение — $6.674\cdot10^{-11}$ .

Примечание читателя к справочному приложению

Примечание читателя: значения справочного приложения сохранены по исходному выпуску, в том числе подпись «Длина земного меридиана – 20004.276 км». Повернута только исходная иллюстрация таблицы Менделеева для чтения; ее числа и подписи не изменены.

Примечание читателя к задаче1

Примечание читателя: условие просит 3–4 примера и назначает по 1 баллу за каждый; ключ приводит четыре примера, но печатает максимум 3 балла. Оба печатных указания сохранены, поле баллов следует явному максимуму ключа.

Примечание читателя к задаче2

Примечание читателя: фраза ключа «ось мира ... должна лежать в плоскости экватора» сохранена буквально.

Примечание читателя к задаче6

Примечание читателя: ключ явно пренебрегает угловым диаметром Нептуна при вычислении времени; исходное условие с $D_{\text{♆}}=2''$ и определением начала/конца транзита сохранено.

Примечание читателя к задаче9

Примечание читателя: ключ обозначает Меркурий символом ♂; это именно напечатанный знак, сохраненный по оригинальным пикселям. В вычислении (29) напечатано $5.397\cdot10^5$ км, в итоговом ответе $5.396\cdot10^5$ км. Перед формулой (36) исходник ссылается на «(34) и (36)». Эти разночтения не исправлены молча.

Примечание читателя к задаче11

Примечание читателя: исходное условие Q7 печатает для Canon 5D Mark IV $k=1.6$ , повторная таблица ключа K7 – $k=1.0$ . Сохранены обе таблицы; решение ключа не заменяет исходные данные молча. В ключе повторен пункт «5.» перед Canon 5D Mark IV; две отдельные строки не объединены.

Примечание читателя к задаче12

Примечание читателя: перед таблицей3 исходный ключ печатает « $\lambda=430$ км»; буквальное обозначение единицы сохранено и не заменено без обозначения на нм.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf · решение от архива: Decisions[SAmRAS_2019-1]_10-11 classes.pdf