Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 10. Третий обобщенный закон Кеплера для двух пар тел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур №2, 10–11 классы · 8 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивные оригиналы содержат18 самостоятельно пронумерованных задач трех уровней с полным соответствующим авторским ключом; каждый связанный набор пунктов сохранен в одной целой задаче. Общая длительность и сумма баллов не напечатаны и не выдуманы. Все74физические страницы двух оригиналов прочитаны, включая повтор условий, обложки и повтор справочного приложения. Полное восьмистраничное приложение представлено исходными научными изображениями. Отдельные бланки ответа в полной полученной папке не перечислены; исходные незаполненные таблицы1/2 сохранены. Декоративные изображения обложек и разделителей не научные диаграммы.

Печатные расхождения и ошибки оригинала:

В условии задачи12 формула(4) использует superscript ext, формула(5) — extr; обе исходные записи сохранены.

В повторе условия15 внутри ключа напечатано «угловую площадь» и ссылка на(91), тогда как отдельный вопрос просит «площадь» и ссылается на(7). Первичное условие сохранено; оба различия повторенного вопроса ключа явно атрибутированы.

Подпись рисунка4 в первичном условии16 напечатана «к определению яркости»; в повторе условия внутри ключа она «к определению профиля поверхности и хода световых лучей». Первичная подпись сохранена с атрибуцией варианта.

В формуле(69) ключа верхний предел последнего интеграла по d(2θ) напечатан π/2, хотя далее результат равен π. Печатная запись не исправлена.

Подпись рисунка14 ключа говорит «летне-осеннего треугольника», хотя задача15 — про весенний треугольник. В рисунке13 метка F1 напечатана дважды. Исходные подписи сохранены.

В ненумерованном дискриминанте после(97) ключа отсутствует множитель4 во втором слагаемом, тогда как далее(98) и(99) дают напечатанный предел. Весь исходный вывод сохранен.

В ключе17 ссылка перед выводом(116) напечатана(134), хотя локальная формула энергии имеет номер(114). В последнем случае классификации орбит напечатан символ ∪ вместо ε; эта фактическая печатная запись сохранена. Ответ задачи17 повторяет ссылку(118) дважды.

Ключ задачи6 не дает ответа на последний вопрос условия о типах объектов, для которых уравнение неприменимо. Отсутствующий ответ не выдуман.

Ключ задачи18 рассматривает пункты в порядке2,3,1; этот исходный полный порядок сохранен. Все модельные предположения, численные значения, ссылки, две сноски и таблицы сохранены без нового исправленного решения.

Исходная обложка и уровни

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№2. Самара,2019г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

C. Уровень «Профи»: задачи13–18.

Полные исходные указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B)

и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура № 2 на проверку : 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Указание перед задачами (У4):

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Полные выходные данные и памятка авторского ключа (К2):

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

Полные исходные справочные данные А.1–А.10

А.1–А.3: основные физические константы, Солнце и начало сведений о Земле.

А.3–А.5: Земля, Луна и формулы приближенного вычисления.

А.6–А.7: орбитальные и физические характеристики Солнца и планет, единицы и сноски.

А.8: физические характеристики спутников планет и сноски.

А.9: диаграмма видимого годичного движения Солнца и график уравнения времени.

А.10: болометрические поправки.

Рис. А.3: диаграмма Герцшпрунга–Рассела.

Рис. А.4: периодическая таблица элементов в исходной ориентации.

Условие

С использованием законов классической механики докажите, что для двух пар гравитирующих тел с массами ( $\mathfrak M_1$ , $\mathfrak M_2$ ) и ( $\mathfrak M_3$ , $\mathfrak M_4$ ), движущихся вокруг их центров масс, по эллиптическим орбитам, с периодами $T_1$ и $T_2$ , и большими полуосями $a_1$ и $a_2$ орбит относительного движения соответственно, справедлив третий обобщенный закон Кеплера в виде:

\frac{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)T_1^2}{(\mathfrak M_3+\mathfrak M_4)T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}.\qquad (2)

Предположим, что второй парой тел является система «Солнце-Земля» с периодом $T_\oplus=1$ год, и большой полуосью относительного движения $a_\oplus=1$ а.е., а первой парой тел является двойная звезда. Полагая, что массы звезд выражаются в массах Солнца, период обращения в годах, а большая полуось $a_1$ — в а.е., докажите, что закон (2) можно записать в виде:

\widetilde{\mathfrak M}_1+\widetilde{\mathfrak M}_2=\frac{\widetilde a^3}{\widetilde T^2},\qquad (3)

здесь знаком « $\sim$ » отмечены безрамерные величины, соответствующие размерным, в указанных выше единицах. (8 баллов).

Решение

Решение.

Рассмотрим систему двух гравитирующих тел с массами $\mathfrak{M}_{1}$ и
$\mathfrak{M}_{2}$ соответственно (причем $\mathfrak{M}_{1} > \mathfrak{M}_{2}$ ). Запишем для каждого второй закон
Ньютона в векторной форме:

\mathfrak M_1\vec W_1=+G\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{r_{12}^3}\vec r_{12},\quad\mathfrak M_2\vec W_2=-G\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{r_{12}^3}\vec r_{12},\qquad (37)

здесь $\vec W_{1}, \vec W_{2}$ – ускорения данных тел, $\vec r_{12}$ – вектор, соединяющий данные тела и направленный от первого ко второму (см. рис. 9). Поделим первое уравнение системы (37) на $\mathfrak{M}_{1}$ , а второе – на $\mathfrak{M}_{2}$ и вычтем одно из другого:

\vec W_2-\vec W_1=-G\frac{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}{r_{12}^3}\vec r_{12}.\qquad (38)

Заметим далее, что ускорения тел и их разность можно представить в виде:

\vec W_1=\frac{d^2\vec r_1}{dt^2},\quad\vec W_2=\frac{d^2\vec r_2}{dt^2},\quad\vec W_2-\vec W_1=\frac{d^2}{dt^2}(\vec r_2-\vec r_1)=\frac{d^2\vec r_{12}}{dt^2}.\qquad (39)

Согласно рис. 9, $\vec r_{2} -\vec r_{1} = \vec r_{12}$ , тогда уравнение (38) можно записать так:

\frac{d^2\vec r_{12}}{dt^2}=-G\frac{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}{r_{12}^3}\vec r_{12},\qquad (40)

где $\vec r_{12}$ – радиус-вектор тела 2 относительно тела 1, причем уравнение (40)
идентично уравнению движения материальной точки в гравитационном поле неподвижного силового центра массы $(\mathfrak{M}_{1} +\mathfrak{M}_{2})$ . Если рассмотреть частный случай $(\mathfrak{M}_{1} ≫\mathfrak{M}_{2})$ , то уравнение (40) можно привести к виду:

\frac{d^2\vec r_{12}}{dt^2}=-G\frac{\mathfrak M_1}{r_{12}^3}\vec r_{12},\qquad (41)

здесь учтено, что

\lim_{\mathfrak M_2/\mathfrak M_1\to0}(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)=\mathfrak M_1.\qquad (42)

Рис. 9: к определению системы двух массивных гравитирующих тел.

Уравнение (41) описывает невозмущенное (кеплерово) движение любой классической планеты в гравитационном поле Солнца. Рассмотрим движение классической планеты в гравитационном поле Солнца в рамках энергетического подхода.
Согласно второму закону Кеплера (являющегося лишь следствием закона сохранения момента импульса планеты) секторная скорость планеты постоянная величина, которую можно записать в случае афелия и перигелия планеты так

\begin{aligned}\sigma=\frac{dS}{dt}&=\frac{\frac12r_Pv_Pdt}{dt}=\frac{\frac12r_Av_Adt}{dt},\Rightarrow r_Pv_P=r_Av_A,\\\text{или }\frac12a(1-\varepsilon)v_P&=\frac12a(1+\varepsilon)v_A,\Rightarrow v_A=\left(\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)v_P.\end{aligned}\qquad (43)

Далее воспользуемся законом сохранения полной механической энергии планеты для тех же точек орбиты

\frac{\mathfrak M_pv_P^2}2-G\frac{\mathfrak M_p\mathfrak M_\odot}{r_P}=\frac{\mathfrak M_pv_A^2}2-G\frac{\mathfrak M_p\mathfrak M_\odot}{r_A},\Rightarrow

v_P^2-v_A^2=2G\mathfrak M_\odot\left(\frac1{a(1-\varepsilon)}-\frac1{a(1+\varepsilon)}\right),\Rightarrow\qquad (44)

v_P^2\left(1-\left(\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)^2\right)=\frac{G\mathfrak M_\odot}{a(1-\varepsilon^2)}4\varepsilon,\Rightarrow v_P^2=\frac{G\mathfrak M_\odot(1+\varepsilon)^2}{a(1-\varepsilon^2)},\Rightarrow

v_P=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}a\left(\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right)},\quad v_A=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}a\left(\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)}.\qquad (45)

Вернемся ко второму закону Кеплера

\sigma=\frac12a(1-\varepsilon)\sqrt{\frac{G\mathfrak M_\odot}a\left(\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right)}=\frac12\sqrt{G\mathfrak M_\odot a(1-\varepsilon^2)}.\qquad (46)

Иначе $\sigma$ можно записать так

\sigma=\frac{S_{el}}T=\frac{\pi ab}T=\frac{\pi a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}}T,\qquad (47)

здесь учтено, что площадь эллипса орбиты планеты $S_{el}=\pi ab$ , где $b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}$ – малая полуось эллипса; $T$ – сидерический период обращения планеты.
Из (46) и (47) следует, что

\frac12\sqrt{G\mathfrak M_\odot a(1-\varepsilon^2)}=\frac{\pi a^2\sqrt{1-\varepsilon^2}}T,\Rightarrow G\mathfrak M_\odot=\frac{4\pi^2}{T^2}a^3.\qquad (48)

Мы рассмотрели частный случай, когда $\mathfrak M_p\ll\mathfrak M_\odot$ (что аналогично $\mathfrak M_2\ll\mathfrak M_1$ ). Выше было показано, что переход к частному случаю получается в пределе (42). Если мы стремимся перейти от частного случая к общему, то необходимо произвести замену $\mathfrak{M}_{1}(\mathfrak{M}_{\odot})$ на $\mathfrak{M}_{1}+\mathfrak{M}_{2}$ в (48). В итоге получаем

G(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)=\frac{4\pi^2}{T^2}a^3,\qquad (49)

где $a$ – большая полуось орбиты движения тела 2 относительно тела 1. Уравнение (49) – третий обобщенный закон Кеплера для пары гравитирующих тел. Если такое же уравнение записать для другой пары тел с массами $\mathfrak M_3$ и $\mathfrak M_4$ в виде:

(\mathfrak M_3+\mathfrak M_4)T_2^2=\frac{4\pi^2}{G}a_2^3\qquad (50)

и разделить (49) на (50), проиндексировав цифрой «1» параметры первой пары, то получим

\frac{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)T_1^2}{(\mathfrak M_3+\mathfrak M_4)T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3},\qquad (51)

что идентично (2).
Далее предположим что вторая пара тел есть система «Солнце-Земля», тогда $\mathfrak{M}_{3} = \mathfrak{M}_{\odot}, \mathfrak{M}_{4} = \mathfrak{M}_{\oplus}$ , $T_{2} = T_{\oplus}=$ 1 год, $a_{2} = a_{\oplus}= 1$ a.e. Следовательно (51) можно переписать в виде:

\frac{(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)T_1^2}{(\mathfrak M_\odot+\mathfrak M_\oplus)T_\oplus^2}=\frac{a_1^3}{a_\oplus^3}.\qquad (52)

Далее учтем, что масса Земли много меньше массы Солнца, следовательно слагаемым $\mathfrak{M}_{\oplus}$ в знаменателе (52) можно пренебречь. Выразим массы компонентов первой пары гравитирующих тел через массу Солнца.

\mathfrak M_1=\widetilde{\mathfrak M}_1\mathfrak M_\odot,\quad\mathfrak M_2=\widetilde{\mathfrak M}_2\mathfrak M_\odot,\qquad (53)

а период и большую полуось в терминах земных аналогов:

T_1=\widetilde T\,T_\oplus,\quad a_1=\widetilde a\,a_\oplus.\qquad (54)

Следовательно (52) можно переписать так

\frac{(\widetilde{\mathfrak M}_1+\widetilde{\mathfrak M}_2)\mathfrak M_\odot T_\oplus^2\widetilde T^2}{\mathfrak M_\odot T_\oplus^2}=\frac{(\widetilde a\,a_\oplus)^3}{a_\oplus^3},\Rightarrow(\widetilde{\mathfrak M}_1+\widetilde{\mathfrak M}_2)=\frac{\widetilde a^3}{\widetilde T^2},

что и требовалось доказать. (8 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf