Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 14. Строгое математическое обоснование второго закона Кеплера для двойной системы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур №2, 10–11 классы · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивные оригиналы содержат18 самостоятельно пронумерованных задач трех уровней с полным соответствующим авторским ключом; каждый связанный набор пунктов сохранен в одной целой задаче. Общая длительность и сумма баллов не напечатаны и не выдуманы. Все74физические страницы двух оригиналов прочитаны, включая повтор условий, обложки и повтор справочного приложения. Полное восьмистраничное приложение представлено исходными научными изображениями. Отдельные бланки ответа в полной полученной папке не перечислены; исходные незаполненные таблицы1/2 сохранены. Декоративные изображения обложек и разделителей не научные диаграммы.

Печатные расхождения и ошибки оригинала:

В условии задачи12 формула(4) использует superscript ext, формула(5) — extr; обе исходные записи сохранены.

В повторе условия15 внутри ключа напечатано «угловую площадь» и ссылка на(91), тогда как отдельный вопрос просит «площадь» и ссылается на(7). Первичное условие сохранено; оба различия повторенного вопроса ключа явно атрибутированы.

Подпись рисунка4 в первичном условии16 напечатана «к определению яркости»; в повторе условия внутри ключа она «к определению профиля поверхности и хода световых лучей». Первичная подпись сохранена с атрибуцией варианта.

В формуле(69) ключа верхний предел последнего интеграла по d(2θ) напечатан π/2, хотя далее результат равен π. Печатная запись не исправлена.

Подпись рисунка14 ключа говорит «летне-осеннего треугольника», хотя задача15 — про весенний треугольник. В рисунке13 метка F1 напечатана дважды. Исходные подписи сохранены.

В ненумерованном дискриминанте после(97) ключа отсутствует множитель4 во втором слагаемом, тогда как далее(98) и(99) дают напечатанный предел. Весь исходный вывод сохранен.

В ключе17 ссылка перед выводом(116) напечатана(134), хотя локальная формула энергии имеет номер(114). В последнем случае классификации орбит напечатан символ ∪ вместо ε; эта фактическая печатная запись сохранена. Ответ задачи17 повторяет ссылку(118) дважды.

Ключ задачи6 не дает ответа на последний вопрос условия о типах объектов, для которых уравнение неприменимо. Отсутствующий ответ не выдуман.

Ключ задачи18 рассматривает пункты в порядке2,3,1; этот исходный полный порядок сохранен. Все модельные предположения, численные значения, ссылки, две сноски и таблицы сохранены без нового исправленного решения.

Исходная обложка и уровни

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№2. Самара,2019г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

C. Уровень «Профи»: задачи13–18.

Полные исходные указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B)

и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура № 2 на проверку : 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Указание перед задачами (У4):

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Полные выходные данные и памятка авторского ключа (К2):

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

Полные исходные справочные данные А.1–А.10

А.1–А.3: основные физические константы, Солнце и начало сведений о Земле.

А.3–А.5: Земля, Луна и формулы приближенного вычисления.

А.6–А.7: орбитальные и физические характеристики Солнца и планет, единицы и сноски.

А.8: физические характеристики спутников планет и сноски.

А.9: диаграмма видимого годичного движения Солнца и график уравнения времени.

А.10: болометрические поправки.

Рис. А.3: диаграмма Герцшпрунга–Рассела.

Рис. А.4: периодическая таблица элементов в исходной ориентации.

Условие

С использованием второго закона Ньютона, закона всемирного тяготения и понятия момента импульса, докажите строго математически выполнение второго закона Кеплера для каждой из компонент системы двух гравитирующих тел с массами $\mathfrak{M}_{1}$ и $\mathfrak{M}_{2}$ соответственно. Как соотносятся секторные скорости данных тел? (12 баллов).

Решение

Дано / Найти:

$\mathfrak M_1,\mathfrak M_2.\quad\text{Доказать выполнение II-го закона Кеплера для каждой ком-ты.}$

Решение:

Воспользуемся вторым законом Ньютона для каждого компонента двойной системы в виде (37) (см. задачу №10 настоящего релиза). Из (37) следует, что

\vec W_1=G\frac{\mathfrak M_2}{r_{12}^3}\vec r_{12},\quad\vec W_2=-G\frac{\mathfrak M_1}{r_{12}^3}\vec r_{12}.\qquad (73)

Выберем декартову систему координат так, как показано на рис. 11. Причем начало координат совпадает с центром масс (точка О) системы.

Введем далее полярные координаты данных тел:

\text{для 2-го тела: }\left.\begin{gathered}x_2=r_2\cos\varphi,\\y_2=r_2\sin\varphi\end{gathered}\right\},\quad\text{для 1-го тела: }\left.\begin{gathered}x_1=r_1\cos(\pi+\varphi),\\y_1=r_1\sin(\pi+\varphi)\end{gathered}\right\}.

При этом единичные орты полярной системы координат связаны с ортами декартовой системы (см. рис. 11) выражениями вида:

\vec n_r=\cos\varphi\,\vec i+\sin\varphi\,\vec j,\quad\vec n_\varphi=-\sin\varphi\,\vec i+\cos\varphi\,\vec j.\qquad (74)

Рис. 11: к определению декартовой и полярной систем координат.

Очевидно, что

r_{12}=r_1+r_2=r.\qquad (75)

Воспользуемся также формулой для радиуса вектора центра масс системы

\vec R_c=\frac{\mathfrak M_1\vec r_1+\mathfrak M_2\vec r_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}=0,\Rightarrow\mathfrak M_1r_1=\mathfrak M_2r_2.\qquad (76)

Из (75) и (76) следует, что

r_2=\frac{\mathfrak M_1}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}r=\frac\mu{\mathfrak M_2}r,\quad r_1=\frac{\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}r=\frac\mu{\mathfrak M_1}r,

где

\mu=\frac{\mathfrak M_1\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1+\mathfrak M_2}.\qquad (77)

Запишем ускорение тел в проекциях на орты полярной системы:

\begin{aligned}\vec W_2&=\frac{d\vec v_2}{dt}=\frac d{dt}\left(\frac d{dt}(r_2\vec n_r)\right)=\frac d{dt}(\dot r_2\vec n_r+r_2\dot{\vec n}_r)\\&=\frac d{dt}(\dot r_2\vec n_r+r_2\omega\vec n_\varphi)=\ddot r_2\vec n_r+\dot r_2\dot{\vec n}_r+\dot r_2\omega\vec n_\varphi+r_2\dot\omega\vec n_\varphi+r_2\omega\dot{\vec n}_\varphi\\&=\vec n_r(\ddot r_2-r_2\omega^2)+(2\dot r_2\omega+r_2\dot\omega)\vec n_\varphi.\end{aligned}\qquad (78)

В последнем выражении точками отмечены производные от величин по времени и учтено, что

\dot{\vec n}_r=\frac d{dt}(\cos\varphi\,\vec i+\sin\varphi\,\vec j)=(-\sin\varphi\,\vec i+\cos\varphi\,\vec j)\dot\varphi=\dot\varphi\vec n_\varphi,\qquad (79)

\dot{\vec n}_\varphi=\frac d{dt}(-\sin\varphi\,\vec i+\cos\varphi\,\vec j)=(-\cos\varphi\,\vec i-\sin\varphi\,\vec j)\dot\varphi=-\dot\varphi\vec n_r.\qquad (80)

Аналогично можно записать ускорение $\vec W_{1}$ :

\vec W_1=-\vec n_r(\ddot r_1-r_1\omega^2)-\vec n_\varphi(2\dot r_1\omega+r_1\dot\omega).\qquad (81)

Очевидно, что уравнения (73) в проекциях на $n_{\varphi}$ , с учетом (78), (81), запишутся так

2\dot r_1\omega+r_1\dot\omega=0,\quad2\dot r_2\omega+r_2\dot\omega=0.\qquad (82)

Умножим первое уравнение на $r_{1}$ , а второе – на $r_{2}$ и свернем полученные уравнения в полные производные по времени:

\frac d{dt}\left(\frac12r_1^2\omega\right)=0,\quad\frac d{dt}\left(\frac12r_2^2\omega\right)=0,\Rightarrow\frac12r_1^2\omega=const_1,\quad\frac12r_2^2\omega=const_2.\qquad (83)

Рассмотрим движение компонента №1 по эллиптической орбите за малый промежуток времени $dt$ . За данный промежуток времени радиус – вектор планеты заметает малый эклиптический сектор, который в силу малости $dt$
можно принять за треугольник с углом раствора $d\varphi$ при центре масс (точка
О на рис. 11), тогда его площадь будет равна

dS=\frac12r_1r_1d\varphi=\frac12r_1^2d\varphi.

Разделим обе части уравнения на $dt$ . По определению секторной скоростью тела называется скалярная величина, равная отношению площади
$dS$ , заметаемой радиусом – вектором компонента за время $dt$ , к данному промежутку времени, т.е.

\sigma_1=\frac{dS}{dt}=\frac12r_1^2\omega=const_1.\qquad (84)

Аналогично можно записать секторную скорость второго тела:

\sigma_2=\frac12r_2^2\omega=const_2.\qquad (85)

Что и требовалось доказать. Отношение секторных скоростей данных компонентов есть

\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{\mathfrak M_2}{\mathfrak M_1}\right)^2.\qquad (86)

Ответ:

( $\char"24_{max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf