Самара 2019, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 15. Площадь весеннего треугольника

Решение:

Рассмотрим, прежде всего, сферический двуугольник – фигуру на поверхности сферы, ограниченную двумя неидентичными большими кругами (см. рис. 13). Определим его площадь. Для этого учтем, что площадь поверхности всей сферы есть

где$R$ – это радиус сферы. Мысленно разделим ее поверхность на$N$ одинаковых сферических двуугольников с общими вершинами, тогда площадь одного двуугольника есть

при этом ширина двуугольника определяется углом (см. рис. 12):

Очевидно, площадь двуугольника должна быть пропорциональна$\alpha$, тогда (88)
можно переписать так

Далее рассмотрим сферический треугольник – фигуру на поверхности сферы, образованную тремя большими кругами (см. рис. 13). Большие круги, образующие треугольник, образуют также три пары двуугольников, покрывающих всю сферу. При этом треугольник$\Delta _{S}ABC$
и диаметрально противоположный ему треугольник$\Delta _{S}A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ покрываются трех кратно (двуугольником из каждой пары), а остальную часть сферы двуугольники покрывают без перекрытий. Поэтому сумма площадей всех шести двуугольников больше площади сферы$S$ на 4 площади
$\Delta _{S}ABC$, т.е.

Величина, представленная в скобках, называется сферическим избытком ($\varepsilon$).
Угловая площадь или телесный угол участка небосвода есть величина, равная отношению площади этого участка к квадрату радиуса небесной сферы:

В случае сферического треугольника

здесь$[\Omega _{\triangle }] =$ квад. градусы,$[\varepsilon ] =$ срад.
Т.о., необходимо вычислить углы при вершинах данного треугольника:
∠$A = \alpha$ (Арктур,$\alpha$ Волопаса), ∠$B = \beta$ (Спика,$\alpha$ Девы), ∠$C = \gamma$ (Денебола,$\beta$ Льва) (см. рис. 14.а). Для определения данных углов необходимо воспользоваться теоремой косинусов для стороны треугольника$\triangle _{S}ABC$:

Т.о., проблема определения углов при вершинах свелась к определению сторон треугольника.
Рассмотрим вспомогательную задачу определения стороны$c$. Для этого рассмотрим сферический треугольник$\triangle _{S}ABP_{N}$ (см. рис. 14.б), составленный из звезд$A$,$B$ и северного полюса мира$P_{N}$. Здесь$AP_{N}$ и$BP_{N}$ есть дуги кругов склонений данных звезд и равны соответственно$90^{\circ}-\delta _{A}$ и$90^{\circ}-\delta _{B}$, где
$\delta _{A}, \delta _{B}$ – склонения данных звезд. Угол при вершине равен разности прямых восхождений данных звезд ∠$P_{N} = \alpha _{A} -\alpha _{B}$, тогда можно вновь воспользоваться теоремой косинусов для стороны$c$

причем$0 \le c \le \pi$. Аналогично рассуждая, можно определить стороны$a$ и$b$.
В итоге

С использованием представленных в условии экваториальных координат звезд треугольника, получаем в итоге:

$a = 35.064^{\circ}, b = 35.309^{\circ}, c = 32.792^{\circ}.$

$A = 64.956^{\circ}, B = 65.713^{\circ}, C = 58.662^{\circ}.$

Тогда сферический избыток$\varepsilon = 0.162859$ срад, а угловая площадь треугольника, согласно (92), есть$\Omega _{\triangle }= 534.6$ кв. град.
Ответ:

$\Omega _{\triangle }= 534.6$ кв. град. ($\char"24_{max} = 13$ баллов).