Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 17 Кеплера для μ-точки в гравитационном поле неподвижного силового центра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019 — тур №2, 10–11 классы · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивные оригиналы содержат18 самостоятельно пронумерованных задач трех уровней с полным соответствующим авторским ключом; каждый связанный набор пунктов сохранен в одной целой задаче. Общая длительность и сумма баллов не напечатаны и не выдуманы. Все74физические страницы двух оригиналов прочитаны, включая повтор условий, обложки и повтор справочного приложения. Полное восьмистраничное приложение представлено исходными научными изображениями. Отдельные бланки ответа в полной полученной папке не перечислены; исходные незаполненные таблицы1/2 сохранены. Декоративные изображения обложек и разделителей не научные диаграммы.

Печатные расхождения и ошибки оригинала:

В условии задачи12 формула(4) использует superscript ext, формула(5) — extr; обе исходные записи сохранены.

В повторе условия15 внутри ключа напечатано «угловую площадь» и ссылка на(91), тогда как отдельный вопрос просит «площадь» и ссылается на(7). Первичное условие сохранено; оба различия повторенного вопроса ключа явно атрибутированы.

Подпись рисунка4 в первичном условии16 напечатана «к определению яркости»; в повторе условия внутри ключа она «к определению профиля поверхности и хода световых лучей». Первичная подпись сохранена с атрибуцией варианта.

В формуле(69) ключа верхний предел последнего интеграла по d(2θ) напечатан π/2, хотя далее результат равен π. Печатная запись не исправлена.

Подпись рисунка14 ключа говорит «летне-осеннего треугольника», хотя задача15 — про весенний треугольник. В рисунке13 метка F1 напечатана дважды. Исходные подписи сохранены.

В ненумерованном дискриминанте после(97) ключа отсутствует множитель4 во втором слагаемом, тогда как далее(98) и(99) дают напечатанный предел. Весь исходный вывод сохранен.

В ключе17 ссылка перед выводом(116) напечатана(134), хотя локальная формула энергии имеет номер(114). В последнем случае классификации орбит напечатан символ ∪ вместо ε; эта фактическая печатная запись сохранена. Ответ задачи17 повторяет ссылку(118) дважды.

Ключ задачи6 не дает ответа на последний вопрос условия о типах объектов, для которых уравнение неприменимо. Отсутствующий ответ не выдуман.

Ключ задачи18 рассматривает пункты в порядке2,3,1; этот исходный полный порядок сохранен. Все модельные предположения, численные значения, ссылки, две сноски и таблицы сохранены без нового исправленного решения.

Исходная обложка и уровни

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10–11КЛАССОВ. ТУР№2. Самара,2019г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

C. Уровень «Профи»: задачи13–18.

Полные исходные указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B)

и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK : http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура № 2 на проверку : 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019 : https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Указание перед задачами (У4):

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Полные выходные данные и памятка авторского ключа (К2):

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника SamRAS-2019

Официальный сайт Астрошколы:

Полные исходные справочные данные А.1–А.10

А.1–А.3: основные физические константы, Солнце и начало сведений о Земле.

А.3–А.5: Земля, Луна и формулы приближенного вычисления.

А.6–А.7: орбитальные и физические характеристики Солнца и планет, единицы и сноски.

А.8: физические характеристики спутников планет и сноски.

А.9: диаграмма видимого годичного движения Солнца и график уравнения времени.

А.10: болометрические поправки.

Рис. А.3: диаграмма Герцшпрунга–Рассела.

Рис. А.4: периодическая таблица элементов в исходной ориентации.

Условие

В задаче №18, этапа №1, SamRAS-2019 было строго доказано, что описание движения двух точечных гравитирующих тел (или шаров со сферически симметричным распределением вещества) с массами $\mathfrak M_1$ и $\mathfrak M_2$ можно свести к описанию движения одной фиктивной $\mu$ -точки с приведенной массой $\mu=\mathfrak M_1\mathfrak M_2/(\mathfrak M_1+\mathfrak M_2)$ относительно неподвижной фиктивной материальной точки с массой $\mathfrak M=\mathfrak M_1+\mathfrak M_2$ . С использованием второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения

1. Запишите уравнение движения $\mu$ -точки в поле неподвижной материальной точки с массой $\mathfrak M$ в векторной форме. (1 балл).

2. Используйте полярную систему координат. Запишите полученное уравнение в проекциях на орты ( $\vec n_r$ , $\vec n_\varphi$ ) полярной системы координат. (2 балла).

3. Докажите, что уравнение в проекциях на орт $\vec n_\varphi$ можно преобразовать к виду:

r^2\dot\varphi=const,\qquad (8)

здесь ( $r$ , $\varphi$ ) — полярные радиус-вектор и угол соответственно. (1 балл).

4. Докажите, что данную константу можно представить в виде:

const=\frac L\mu,\qquad (9)

здесь $L$ — момент количества движения $\mu$ -точки. (2 балла).

5. Преобразуйте уравнение движения в проекциях на орт $\vec n_r$ к уравнению гармонических колебаний, посредством замены вида $r=1/\rho$ . (3 балла).

6. Докажите, что его решение можно представить в следующем виде:

r=\frac p{1+\varepsilon\cos\varphi},\qquad (10)

здесь $p$ — фокальный параметр, $\varepsilon$ — эксцентриситет орбиты. (2 балла).

7. Получите выражение для эксцентриситета орбиты $\mu$ -точки в форме:

\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2E_0L^2}{\mu(G\mu\mathfrak M)^2}}\qquad (11)

и покажите строго математически, что у $\mu$ -точки возможны три семейства траекторий, одним из которых является семейство эллипсов. (2 балла).

8. Запишите законы движения $\mu$ -точки в форме обратных зависимостей $t=t(r)$ и $t=t(\varphi)$ , в интегральной форме. (1 балл).

Решение

Решение.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) $\mu$ – точки в гравитационном поле неподвижной материальной точки с массой $\mathfrak{M}$ в векторной

форме:

\mu\ddot{\vec r}=-G\frac{\mu\mathfrak M}{r^3}\vec r.\qquad (102)

Рис. 16: к определению ориентации ортов полярной системы координат.

Далее введем декартову систему координат $OXY$ , начало отсчета которой совпадает

с точкой массы $\mathfrak{M}$ . Относительно последней определим полярную систему (см. рис. 16) координат ( $r, \varphi$ ), посредством выражений вида:

x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi.\qquad (103)

Единичные орты полярной системы координат связаны с ортами декартовой системы посредством системы выражений (74).
Определим следующие кинематические величины в полярной системе координат

\begin{aligned}\text{радиус-вектор }\mu\text{–точки: }\vec r&=r\vec n_r,\\\text{скорость }\mu\text{–точки: }\dot{\vec r}&=\dot r\vec n_r+r\dot{\vec n}_r=\dot r\vec n_r+r\dot\varphi\vec n_\varphi,\\\text{ускорение }\mu\text{–точки: }\ddot{\vec r}&=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\vec n_r+(2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)\vec n_\varphi.\end{aligned}

При записи скорости и ускорения были использованы результаты (78)-(80)
(см. задачу №14). Тогда уравнение (102) в проекциях на орты $\vec n_{r}$ , $\vec n_{\varphi}$ можно записать так

\text{на }\vec n_r:\ \ddot r-r\dot\varphi^2=-G\frac{\mathfrak M}{r^2},\quad\text{на }\vec n_\varphi:\ 2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi=0.\qquad (104)

Умножим обе части второго уравнения (104) на $r$ :

2r\dot r\dot\varphi+r^2\ddot\varphi=0,\Rightarrow\frac d{dt}(r^2\dot\varphi)=0,\Rightarrow r^2\dot\varphi=const,\qquad (105)

что и требовалось показать. 4. Для вычисления const воспользуемся определением момента $\vec L$ количества движения $\mu$ -точки. Как известно, последний можно представить через векторное произведение векторов $\vec r$ и $\vec v$ данной точки. Данная операция над векторами может быть сведена к вычислению детерминанта от их проекций:

\vec L_\mu=\mu[\vec r,\vec v]=\mu\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\x&y&z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}=L_x\vec i+L_y\vec j+L_z\vec k,\quad\text{где}\qquad (106)

L_x=\mu(yv_z-zv_y),\quad L_y=\mu(zv_x-xv_z),\quad L_z=\mu(xv_y-yv_x).

Поскольку движение $\mu$ -точки осуществляется в плоскости OXY, то $z, v_{z} = 0$ , следовательно $\vec L = L_{z}\vec k$ . Тогда

\begin{aligned}L_z&=\mu(xv_y-yv_x)=\mu(r\cos\varphi(\dot r\sin\varphi+r\cos\varphi\dot\varphi)-r\sin\varphi(\dot r\cos\varphi-r\sin\varphi\dot\varphi))\\&=\mu(r^2\cos^2\varphi\dot\varphi+r^2\sin^2\varphi\dot\varphi)=\mu r^2\dot\varphi=\mu\cdot const,\end{aligned}

откуда

const=\frac{L_z}\mu=\frac L\mu,

что и требовалось показать. 5. С учетом (105), первое уравнение системы (104) представляется в виде:

\ddot r-\frac{L^2}{\mu^2r^3}=-G\frac{\mathfrak M}{r^2}.\qquad (107)

Получим уравнение траектории $\mu$ -точки в виде зависимости $r = r(\varphi )$ . Для этого учтем, что

\begin{aligned}\dot r&=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=\frac{dr}{d\varphi}\dot\varphi,\\\ddot r&=\frac d{dt}\left(\frac{dr}{dt}\right)=\frac d{dt}\left(\frac{dr}{d\varphi}\dot\varphi\right)=\frac d{d\varphi}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)\frac{d\varphi}{dt}\dot\varphi+\frac{dr}{d\varphi}\ddot\varphi\\&=\frac{d^2r}{d\varphi^2}\dot\varphi^2+\frac{dr}{d\varphi}\ddot\varphi.\end{aligned}

Согласно (105) имеем

\dot\varphi=\frac L{\mu r^2},

\ddot\varphi=-\frac L\mu\frac{2\dot r}{r^3}=-\frac L\mu\frac2{r^3}\frac{dr}{d\varphi}\dot\varphi=-\left(\frac L\mu\right)^2\frac2{r^5}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right).

Следовательно, уравнение (107) можно переписать в виде:

\left(\frac{d^2r}{d\varphi^2}\right)\frac{L^2}{\mu^2r^4}-2\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2\frac{L^2}{\mu^2r^5}-\frac{L^2}{\mu^2r^3}=-G\frac{\mathfrak M}{r^2}.\qquad (108)

Перейдем к новой переменной $\rho = 1/r$ , тогда

\frac{dr}{d\varphi}=\frac d{d\varphi}\left(\frac1\rho\right)=-\frac1{\rho^2}\rho'_\varphi,\quad\frac{d^2r}{d\varphi^2}=\frac d{d\varphi}\left(-\frac1{\rho^2}\rho'_\varphi\right)=\frac2{\rho^3}(\rho'_\varphi)^2-\frac1{\rho^2}\rho''_\varphi.

В итоге уравнение (108) можно представить в виде:

\begin{aligned}\rho^4\left(\frac L\mu\right)^2\left(\frac2{\rho^3}(\rho'_\varphi)^2-\frac1{\rho^2}\rho''_\varphi\right)-2(\rho'_\varphi)^2\frac1{\rho^4}\left(\frac L\mu\right)^2\rho^5-\left(\frac L\mu\right)^2\rho^3&=-G\mathfrak M\rho^2,\\\text{или }-\left(\frac L\mu\right)^2\rho^2\rho''_\varphi-\left(\frac L\mu\right)^2\rho^3&=-G\mathfrak M\rho^2.\end{aligned}

Разделим последнее уравнение на $-\rho ^{2}(L/\mu )^{2}$ . В итоге получим

\rho''_\varphi+\rho=\frac{G\mu^2\mathfrak M}{L^2}.\qquad (109)

Последнее уравнение есть уравнение гармоничных колебаний с ненулевой правой частью. 6. Решение последнего можно представить в виде:

\rho=A\cos\varphi+B\sin\varphi+D,

где $A, B, D$ – числовые коэффициенты, подлежащие определению. Прямой подстановкой легко убедиться в том, что $D = G \mu ^{2} \mathfrak{M}/L^{2}$ . Следовательно, решение можно представить в виде:

\begin{gathered}\rho=F(\cos\varphi\cos\alpha+\sin\varphi\sin\alpha)+\frac{G\mu^2\mathfrak M}{L^2},\\\text{где }F=\sqrt{A^2+B^2},\quad\cos\alpha=\frac A{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac B{\sqrt{A^2+B^2}},\\\text{или }\rho=F\cos(\varphi-\alpha)+\frac{G\mu^2\mathfrak M}{L^2}.\end{gathered}

Возвращаясь к полярному радиусу, уравнение траектории $\mu$ -точки можно представить в виде:

r=\frac p{1+\varepsilon\cos(\varphi-\alpha)},\qquad (110)

\text{где }p=\frac{L^2}{G\mu^2\mathfrak M},\quad\varepsilon=\frac{FL^2}{G\mu^2\mathfrak M},\qquad (111)

здесь $p$ , $\varepsilon$ – фокальный параметр и эксцентриситет орбиты соответственно.
Очевидно, что в зависимости от значения параметра $\varepsilon$ зависимость (110) может быть уравнением гиперболы ( $\varepsilon > 1$ ), параболы ( $\varepsilon = 1$ ) или эллипса ( $0 \le \varepsilon < 1$ ).
Всегда можно выбрать такое исходное направление полярной оси, что $\alpha =$
$0$ . Тогда уравнение траектории принимает вид:

r=\frac p{1+\varepsilon\cos\varphi}.\qquad (112)

Выразим эксцентриситет орбиты через полную механическую энергию

$\mu$ – точки ( $E_{0}$ ), которая является сохраняющейся величиной в центральном силовом поле массы $\mathfrak{M}$ . Для этого учтем, что кратчайшее расстояние ( $q$ ) от тела массы $\mathfrak{M}$ до $\mu$ – точки, согласно (112), есть

q=\frac p{1+\varepsilon}=\frac{L^2}{G\mathfrak M\mu^2(1+\varepsilon)}.\qquad (113)

Полная механическая энергия $\mu$ – точки в этом положении

E_0=\frac{\mu V_q^2}2-G\frac{\mu\mathfrak M}q,\qquad (114)

здесь $V_{q}$ – ее скорость в этой точке. Здесь ее радиус-вектор перпендикулярен скорости, тогда

L=\mu qV_q,\Rightarrow V_q=\frac L{\mu q}=\frac{G\mathfrak M\mu(1+\varepsilon)}L.\qquad (115)

Подставляя выражения (113) и (115) в выражение (134), в результате получаем

E_0=\frac{\mu(G\mathfrak M\mu)^2(1+\varepsilon)^2}{2L^2}-\frac{\mu(G\mathfrak M\mu)^2(1+\varepsilon)}{L^2}=\frac{\mu(G\mathfrak M\mu)^2(\varepsilon^2-1)}{2L^2},

откуда следует

\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2E_0L^2}{\mu(G\mu\mathfrak M)^2}}.\qquad (116)

Очевидно, что полная механическая энергия $E_{0} \mu$ – точки однозначно определяет значение эксцентриситета орбиты, и, следовательно, тип ее траектории:

\varepsilon:\left\{\begin{aligned}&>1,&&\text{если }E_0>0,\ \text{уравнение траектории — гипербола},\\&=1,&&\text{если }E_0=0,\ \text{уравнение траектории — парабола},\\&0\le\cup<1,&&\text{если }E_0<0,\ \text{уравнение траектории — эллипс}\end{aligned}\right\}.

Для определения обратной зависимости $t = t(\varphi )$ воспользуемся выражениями (105), (112):

\dot\varphi=\frac L{\mu r^2}=\frac{L(1+\varepsilon\cos\varphi)^2}{\mu p^2},\Rightarrow\frac{d\varphi}{dt}=\left(\frac\mu L\right)^3(G\mathfrak M)^2(1+\varepsilon\cos\varphi)^2.\qquad (117)

\left(\frac L\mu\right)^3\frac1{(G\mathfrak M)^2}\frac{d\varphi}{(1+\varepsilon\cos\varphi)^2}=dt,\Rightarrow\left(\frac L\mu\right)^3\frac1{(G\mathfrak M)^2}\int_{\varphi_0}^{\varphi}\frac{d\varphi'}{(1+\varepsilon\cos\varphi')^2}=\int_0^t dt'

или

t=\left(\frac L\mu\right)^3\frac1{(G\mathfrak M)^2}\int_{\varphi_0}^{\varphi}\frac{d\varphi'}{(1+\varepsilon\cos\varphi')^2}.\qquad (118)

Интеграл в правой части для разных значений $\varepsilon$ имеет различные первообразные (здесь $\varphi _{0}$ , $\varphi$ – начальное и конечное значения полярного угла). Чтобы получить зависимость $t = t(r)$ , воспользуемся законом сохранения механической энергии для $\mu$ – точки:

E_0=\frac{\mu\dot{\vec r}^{\,2}}2-G\frac{\mu\mathfrak M}r=\frac\mu2(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)-G\frac{\mu\mathfrak M}r=\frac\mu2\dot r^2+U_{eff},\quad\text{где }U_{eff}=\frac{L^2}{2\mu r^2}-G\frac{\mu\mathfrak M}r.

Из последнего выражения следует

\frac{dr}{dt}=\pm\sqrt{\frac2\mu(E_0-U_{eff})},\Rightarrow\frac{dr}{\sqrt{\frac2\mu(E_0-U_{eff})}}=\pm dt,\Rightarrow\sqrt{\frac\mu{2E_0}}\frac{dr}{\sqrt{1-\frac{L^2}{2\mu E_0r^2}+\frac{G\mu\mathfrak M}{rE_0}}}=\pm dt.

Проинтегрируем последнее уравнение:

\sqrt{\frac\mu{2E_0}}\int_{r_0}^r\frac{dr'}{\sqrt{1-\frac{L^2}{2\mu E_0r'^2}+\frac{G\mu\mathfrak M}{r'E_0}}}=\pm\int_0^t dt'

или

t=\pm\sqrt{\frac\mu{2E_0}}\int_{r_0}^r\frac{dr'}{\sqrt{1-\frac{L^2}{2\mu E_0r'^2}+\frac{G\mu\mathfrak M}{r'E_0}}}.\qquad (119)

Далее в качестве конкретного примера рассмотрим случай эллиптической орбиты $(E_{0} < 0, \varepsilon < 1)$ . Интеграл (118) можно представить в виде:

t=\left(\frac L\mu\right)^3\frac1{(G\mathfrak M)^2}(F(\varphi)-F(\varphi_0)),\qquad (120)

Рис. 17: к определению основных параметров эллипса.

где

F(\varphi)=-\frac\varepsilon{1-\varepsilon^2}\frac{\sin\varphi}{1+\varepsilon\cos\varphi}+\frac2{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\operatorname{arctg}\left[\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}\operatorname{tg}\frac\varphi2\right]+C_3,

где $C_{3}$ – константа интегрирования.
Учтем далее, что расстояния от второго фокуса эллипса (где находится центр масс системы) до самой далекой (А) и самой ближней (P) точек эллипса (см. рис. 17) есть

\begin{gathered}r_{max}=Q=\frac p{1-\varepsilon},\quad r_{min}=q=\frac p{1+\varepsilon},\quad r_{min}+r_{max}=2a=\frac{2p}{1-\varepsilon^2},\Rightarrow\\a=\frac p{1-\varepsilon^2}=\frac{G\mu\mathfrak M}{2|E_0|},\quad b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}=\frac L{\sqrt{2\mu|E_0|}},\end{gathered}\qquad (121)

тогда (119) можно представить в виде:

t=\pm\sqrt{\frac\mu{2|E_0|}}\int_{r_0}^r\frac{r'dr'}{\sqrt{-r'^2+2ar'-b^2}}=\pm\sqrt{\frac\mu{2|E_0|}}\int_{r_0}^r\frac{r'dr'}{\sqrt{a^2\varepsilon^2-(r'-a)^2}}.

В итоге закон движения по переменной $r$ можно представить в виде:

t=\mp\sqrt{\frac\mu{2|E_0|}}(G(r)-G(r_0)),\quad\text{где}\qquad (122)

G(r)=\sqrt{(a\varepsilon)^2-(r-a)^2}-a\operatorname{arctg}\left[\frac{r-a}{\sqrt{(a\varepsilon)^2-(r-a)^2}}\right]+C_4.

В последнем выражении $C_{4}$ – константа интегрирования. Функции $F(\varphi )$ ,
$G(r)$ получены автором с использованием системы аналитических вычислений Mathematica.

Ответ:

к задаче представляется выражениями (102), (104), (109), (112), (116), (118), (118), (119). ( $\char"24_{max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_10-11 classes.pdf