Самара 2019, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача 18. Эволюция орбит планет земной группы и астероидов главного пояса

Решение.

2. Как известно, орбиты большинства планет земной группы

и многих астероидов главного пояса характеризуются относительно малыми значениями эксцентриситета, следовательно данные эллиптические орбиты в низшем приближении можно рассматривать как круговые. Определим закон изменения радиуса круговой орбиты небесного тела (планеты) Солнечной системы, обусловленного уменьшением массы Солнца.
Заметим, что с уменьшением массы Солнца остаются неизменными масса планеты$\mathfrak{M}_{p}$ и ее момент количества движения (МКД) тела – $L$². Последний, во-первых, явно не зависит от$\mathfrak{M}_{\odot}$, во-вторых, его изменение возможно, если только на планету будет действовать нецентральная сила, которая будет порождать ненулевой момент, но источников такой силы не существует³, в силу сферически симметричного характера сброса плазмы с поверхности Солнца.
Для МКД планеты, движущейся по круговой орбите радиуса$r_{p}$, со скоростью$V_{p}$, справедливо равенство вида:

Далее воспользуемся вторым законом Ньютона для планеты:

Из выражений (123) и (124) следует, что

Полагая, что$r^{(0)}_{p}$ ,$\mathfrak{M}^{(0)}_{\odot}$– радиус орбиты планеты и масса Солнца в данный момент времени, а$r_{p}$,$\mathfrak{M}_{\odot}$– те же параметры в момент времени$t$. В итоге получаем выражение для радиуса орбиты планеты в виде:

² Далее будем пренебрегать изменением массы ближайших к Солнцу планет, обусловленным потерей атмосферы, океанов жидкой воды (в случае Земли) и тонкого слоя коры планеты, в силу краткосрочного действия сброшенной Солнцем плазменной оболочки, на стадии красного гиганта.
³ За исключением кратковременного действия силы сопротивления, действующей со стороны сброшенных Солнцем расширяющихся слоев плазмы, чем далее будем пренебрегать.

Далее будем использовать параметр$\beta$ – относительное изменение массы Солнца:

Следовательно, радиус орбиты есть

В случае$\beta _{\odot}\ll 100\%$, имеем следующее приближенное выражение для$r_{p}$:

В частности, последним выражением удобно пользоваться для оценки изменения радиуса орбиты планеты на стадии желтого карлика, где масса Солнца уменьшается крайне медленно.
C использованием данных модели эволюции Солнца, представленных в таблице 1, здесь вычислены радиусы орбит планет земной группы и некоторых астероидов. Численные результаты представлены в таблице 3. Очевидно, к финальной стадии эволюции Солнца радиусы орбит всех рассматриваемых тел в рамках данного приближения увеличатся почти 2 раза!

3. В предыдущем пункте был рассмотрен вопрос эволюции орбит тел внутренней части Солнечной системы в приближении круговых орбит. Однако,

рассмотренный подход является ограниченным, поскольку дает лишь очень грубую картину эволюции орбит и не учитывает характер движения тела (финитное или инфинитное движение), который определяется его полной механической энергией$E_{0}$. В настоящем параграфе мы получим аналитические зависимости для большой полуоси –$a = a(\mathfrak{M}_{\odot})$, и эксцентриситета орбиты –
$\varepsilon = \varepsilon (\mathfrak{M}_{\odot})$ произвольного тела Солнечной системы.
Согласно выражениям (116), (121) эксцентриситет и большая полуось кеплеровой орбиты тела зависят от значений четырех параметров:$\mathfrak{M}_{\odot}$,$\mathfrak{M}_{p}$,$L$,$E_{0}$.
Как было уже сказано выше, параметры$\mathfrak{M}_{p}$,$L$ в процессе эволюции Солнечной системы у данного тела остаются постоянными.
Полная механическая энергия планеты ($E_{0}$), очевидно, с уменьшением$\mathfrak{M}_{\odot}$
будет изменяться. Определим ее характер изменения. Воспользуемся выражением (134) и учтем, что первое слагаемое в нем, определяющее кинетическую энергию тела, явно не зависит от массы Солнца, следовательно, оно должно оставаться неизменным. Как было показано в задаче №10, скорость какоголибо небесного тела Солнечной системы в перигелии определяется выражением (45). Тогда полную механическую энергию планеты можно представить в виде:

здесь и далее индексом «0» обозначены текущие значения параметров планеты и Солнца,$\mathfrak{M}_{\odot}$– масса Солнца в будущий момент времени$t$. Из последнего выражения очевидно, что полная механическая энергия планеты равна нулю, если

Последнее равенство есть условие для оставшейся массы Солнца – критической массы$\mathfrak{M}^{(c)}_{\odot}$, при которой планета становится свободной (преодалевает гравитационное поле Солнца) и навсегда покидает пределы Солнечной системы, приобретая статус блуждающей планеты. Очевидно, что чем больше настоящий эксцентриситет орбиты, тем больше критическая масса
$\mathfrak{M}^{(c)}_{\odot}$Солнца. Следовательно, Солнечную систему, в первую очередь, должны покидать тела с бо́льшими эксцентриситетами.
Полную механическую энергию небесного тела (планеты) с учетом (127)

можно представить в виде:

отсюда следует, что критическое значение параметра$\beta ^{(c)}_{\odot}$представляется в виде:

Окончательно, энергию можно представить в виде:

В итоге большая полуось и эксцентриситет орбиты небесного тела (планеты)
представляются в виде:

В таблице 4 представлены значения параметров орбит планет земной группы и некоторых астероидов главного пояса, вычисленные на начало четырех эпох жизненного цикла Солнца по формулам (135)-(136). Из полученных данных, очевидно, что Солнечная система существенным образом меняет свой облик в процессе эволюции Солнца. Уже на стадии красного гиганта большие полуоси планет земной группы увеличиваются в несколько раз: у Меркурия – в 4 раза, у Венеры и Земли – в 2 раза, у Марса – в 2.5 раза. Еще бо́льшими темпами растут эксцентриситеты их орбит. Большинство рассматриваемых астероидов (за исключением Весты) удалятся от Солнца на расстояния$8\div 16$
а.е.
Спустя 7.72 млрд. лет от настоящего времени Солнце испытает повторное расширение конвективной оболочки. К этому моменту масса центрального тела станет меньше критической для большинства рассматриваемых тел (cм.

таблицы 4 и 5), последние покинут Солнечную систему, уйдя в межзвездное пространство. Лишь Венера, Земля и Веста останутся в гравитационном поле Солнца. При этом большая полуось Земли увеличится в сравнение с сегодняшним значением в 7 раз, а большая полуось орбиты Весты – в 166
раз! На стадии белого карлика (спустя 7.80 млрд. лет) во внутренней части
Солнечной системы останутся из 10 рассматриваемых тел только Венера и
Земля!

1. Определим изменение ($\triangle a$) большой полуоси орбиты Земли за 1 год.

Для это оценим изменение массы Солнца за 1 год. Как известно, масса Солнца уменьшается в результате непрерывного испускания в окружающее пространство трех типов излучений: электромагнитного, нейтринного и солнечного ветра. Самым мощным излучением является электромагнитное излучение. Далее для оценки потери массы Солнцем будет учитывать лишь данное излучение.
Как известно, светимость Солнца есть

Поскольку светимость Солнца изменяется крайне медленно, то скорость изменения массы Солнца можно считать постоянной величиной. Следовательно, изменение массы Солнца за год составит

где$T_{\oplus}= 365.2564$ сут – звездный год Земли. Этому значению соответствует относительное изменение$\beta _{\odot}= 6.75 \cdot 10^{-12}\%$. С использованием формулы (135) получаем искомое значение для$\Delta a$:

Ответ:

к задаче представляется выражениями (128), (135), (136), (137).
($\char"24_{max} = 15$ баллов).