Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №18. «Свойства звезды 59 Девы и экзопланеты GJ 504b»

Задача №18. «Свойства звезды 59 Девы и экзопланеты GJ 504b»

Дано:

$r_{*}$ $=$ $57.27$ св. лет, $\mathfrak{M}_{*}= 1.2 \mathfrak{M}_{\odot}$ , $\mathfrak{R}_{*}= 1.36 \mathfrak{R}_{\odot}$ , $T_{*}= 6205 K$ , $\mathfrak{M}_{p} = 4\mathfrak{M}_{J}$ , $\mathfrak{R}_{p} = 0.96 \mathfrak{R}_{J}$ , $T_{p} = 544 K$ , $A = 0.50$ .

Найти: $a_p,T_p,\bar\rho_*$ – ? $g_*,v_*^{(I)},v_*^{(II)}$ – ? $\rho_p,g_p,v_p^{(I)}$ – ? $v_p^{(II)},x,\mathfrak R_{Roche}$ – ?

Решение:

1. Следует сразу заметить, что на фотографии указан масштаб. С использованием линейки определяем длину штриха, соответствующего одной угловой секунде $\ell$ =35 мм, тогда угловой масштаб есть

Далее измеряем линейкой расстояние между планетой и звездой $\ell_p=88$ мм (Ваши значения $\ell$ и $\ell_p$ могут быть иными при использовании фотографии с иными линейными размерами). Тогда определяем угловой радиус орбиты планеты:

Следовательно, радиус орбиты планеты есть

Период обращения системы относительно центра масс системы можно определить с использованием третьего обобщенного закона Кеплера:

здесь $\mathfrak{M}_{\odot}, \mathfrak{M}_{\oplus}$ – массы Солнца и Земли соответственно; $a_{\oplus}$ – большая полуось Земли и $T_{\oplus}$ – ее период обращения. 2. Для звезды имеем:

где $\bar{\rho} _{\odot}= 1410$ кг/м $^{3}$ – средняя массовая плотность Солнца, $g_{\odot}$ =272 м/с $^{2}$ – ускорение свободного падения у поверхности Солнца, $v_{\odot}^{(I)}$ =437 км/с – первая космическая скорость у поверхности Солнца. 3. Для экзопланеты имеем

здесь $\bar{\rho} _{J}$ =1326 кг/м $^{3}$ , $g_{J}$ =24.79 м/с $^{2}$ , $v_{J}^{(I)}$ =42.07 км/с – средняя массовая плотность, ускорение свободного падения и первая космическая скорость у поверхности Юпитера соответственно. 4. Определим полный поток энергии, падающий от звезды на планету. Светимость звезды есть

освещенность и поток у поверхности GJ504b тогда запишутся так

Далее запишем уравнение энергетического баланса для экзопланеты

Разделим последнее уравнение на его первое слагаемое:

5. Как известно, сферой Роша называется область пространства вокруг материнской звезды, имеющая форму шара, радиус которого, равен радиусу круговой орбиты экзопланеты, обращающейся вокруг центрального тела, на которой приливные силы, вызванные гравитацией звезды, равны силам самогравитации планеты. Получим явное выражение для радиуса сферы Роша. Рассмотрим силы, действующие на малые элементы тела экзопланеты массой $\Delta m$ , находящиеся в самой удаленной ( $B$ ) и самой близкой точке ( $A$ ) к материнской звезде (см. рис. 20). Запишем второй закон Ньютона для данных элементов:

здесь $\vec{F}_{A}$ , $\vec{F}_{B}$ – силы притяжения, действующие со стороны звезды, $\vec F_A',\vec F_B'$ – силы притяжения, действующие со стороны экзопланеты. Для экзопланеты, являющейся протяженным телом, находящимся в центральном гравитационном поле звезды, силы притяжения в ближайшей ( $\vec{F}_{A}$ ) и самой далекой ( $\vec{F}_{B}$ ) точках тела отличаются, а именно

Для данной системы (как и для большинства подобных систем) имеет место сильное неравенство вида $\mathfrak{R}_{p} \ll a_{p}$ . Тогда, используя приближение вида $(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ , при $x \ll 1$ , силы (119) можно представить в виде:

Разность этих сил

ведет к растяжению тела экзопланеты в направлении «экзопланета-звезда». Последняя сила есть простейший пример приливной силы. Для того чтобы экзопланета оставалась единым телом, необходимо чтобы ее силы самогравитации были не меньше приливных сил звезды, при этом ускорения точек $A$ и $B$ были равны. Вычтем из первого уравнения системы (118) второе, в результате получаем $\vec F_A-\vec F_B+\vec F_A'-\vec F_B'=0$

Спроецируем последнее уравнение на координатную ось $OX$ :

Учтем также, что

С использованием (120), (122) уравнение (121) можно переписать в виде:

Принимая во внимание, что $\mathfrak M_p=\rho_p\dfrac{4\pi}3\mathfrak R_p^3$, $\mathfrak M_*=\rho_*\dfrac{4\pi}3\mathfrak R_*^3$, последнее выражение можно представить в виде:

т.е., полость Роша лежит внутри тела звезды. Поскольку радиус орбиты экзопланеты много больше $\mathfrak{R}_{*}$ , то планете не угрожает попасть в полость Роша и быть разрушенной. Ответ:

к задаче представлен формулами (106)-(115), (117), (123), нет опасности. (15 баллов).