Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №17. «Максимальные высоты гор на поверхностях планет земной группы»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019. Заочная олимпиада по астрономии. Тур №2. 8–9 классы. · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены буквальные различия двух оригиналов: в повторном условии №8 ограничение касается собственного движения Солнца перпендикулярно лунному; в №10 ссылка на закон (11); в №16 ширина щели h вместо исходных χ/f; в №17 ссылка на таблицу3 рядом с таблицей1 и pmax вместо исходного ρ в интервале напряжения. В ключе оставлены: два |r21| подряд; знак Венеры V♀ в формуле43; 86год до н.э. в выводе и66год в ответе №13; «в начале июня» для афелия; Rp назван радиусом звезды, Rp=rp/x и as≈Rs; единица кг у большой полуоси Земли; (18.02/PСЗ)·41≈210лет; a⊙ в формуле52; подпись рис.20 о конусе горы. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

SAMRAS-2019. Тур №2. 8–9 классы

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР №2 Самаpа, 2019 г.

Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур №2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено на стр.13–20 условий и повторено на стр.42–49 решений.

Условие

Как известно, на поверхностях всех планет земной группы существует одна из самых привлекательных форм рельефа – горы. Значения их максимальных высот представлены в таблице 1. Известно, что доминирующим материалом, составляющим горные массивы, являются базальтовые породы, плотность которых может быть заключена в интервале:

2400\text{ кг/м}^3\le\rho\le3100\text{ кг/м}^3.\qquad (3)

Планета	Меркурий	Венера	Земля	Марс
Гора	–	Максвелла	Мауна-Кеа	Олимп
$h_{exp}$ , км	4.5	11	10.2	26

Полная исходная таблица четырех планет, названий гор и наблюдаемых высот — Таблица 1: планеты земной группы, их самые высокие горы и значения высоты hexp.

При этом, для данных пород механическое напряжение на разрыв принадлежит интервалу:

250\text{ МПа}\le\rho\le500\text{ МПа}.\qquad (4)

1 Определите области допустимых значений $(h_{\min},h_{\max})$ для максимальной высоты гор на поверхности планет земной группы. Согласуются ли данные наблюдений с полученными интервалами? (4 баллов).

2 Введем новый безразмерный параметр $\beta$ , определяемый выражением вида:

\beta=\frac{h_{exp}-h_{\min}}{h_{\max}-h_{\min}}.\qquad (5)

Указанный параметр характеризует положение экспериментально наблюдаемого значения $h_{exp}$ относительно вычисленных границ интервала $h_{\max},h_{\min}$ . Вычислите данный параметр для каждой планеты. Какая тенденция просматривается в поведении $\beta$ при переходе от Меркурия к Марсу? Дайте ей объяснение. (3 баллов).

3 Полагая, что самые высокие горы имеют форму конуса, оцените минимально возможный радиус их основания, если известно, что среднее значение коэффициента трения между частицами горных пород составляет $\mu=0.7$ . (3 балла).

4 Определите области допустимых значений для минимальной массы этих гор. (4 балла).

Решение

Задача №17. «Максимальные высоты гор на поверхностях планет земной группы»

Как известно, на поверхностях всех планет земной группы существует одна из самых привлекательных форм рельефа – горы. Значения их максимальных высот представлены в таблице 3. Известно, что доминирующим материалом, составляющим горные массивы, являются базальтовые породы, плотность которых может быть заключена в интервале:

2400\text{ кг/м}^3\le\rho\le3100\text{ кг/м}^3.\qquad (3)

При этом, для данных пород механическое напряжение на разрыв принадлежит интервалу:

250\text{ МПа}\le p_{\max}\le500\text{ МПа}.\qquad (4)

Задача №17. «Максимальные высоты гор на поверхностях планет земной группы»

Решение.

Рассмотрим узкий вертикальный столб горных пород в теле горы, находящейся на поверхности планеты. Давление данного столба на свое основание можно оценить по формуле:

p=\rho gh\qquad (93)

где $\rho$ – средняя массовая плотность горных пород, $g$ – ускорение свободного падения у поверхности, которое можно записать, с использованием закона всемирного тяготения Ньютона, в следующей форме:

g=G\frac M{R^2}\qquad (94)

где $G$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}$ – масса планеты, $\mathfrak{R}$ – радиус планеты. Подставим выражение (94) в (93), получаем окончательное выражение для давления столба из горных пород:

p=\rho G\frac M{R^2}h,\quad\Rightarrow h=\frac{pR^2}{G\rho M}\qquad (95)

Из полученного результата следует что, чем больше предельное механическое давление ( $p_{max}$ ), которое еще выдерживают горные породы, не разрушаясь (механическое напряжение на разрыв), и радиус планеты, тем больше максимальная высота гор. Чем больше плотность горных пород и масса планеты, тем данная величина будет меньше. Учитывая далее, что доминирующим материалом, формирующим горные массивы всех планет земной группы, являются базальтовые породы, плотность которых заключена в интервале (3), при этом механическое напряжение на разрыв данных пород определяется интервалом (4), следовательно нетрудно вычислить минимальное и максимальное значения для максимальной высоты гор на поверхности данных планет:

h_{\min}=\frac{p_{\max}^{(\min)}R^2}{G\rho_{\max}M},\quad h_{\max}=\frac{p_{\max}^{(\max)}R^2}{G\rho_{\min}M}\qquad (96)

здесь $\rho _{min}$ , $\rho _{max}$ – пограничные значения интервала (3), $p_{\max}^{(\min)},p_{\max}^{(\max)}$ – пограничные значения интервала (4). Значения масс и радиусов небесных тел, а также результаты численных расчетов представлены в таблице 3. Здесь в четвертой колонке представлены значения нижней границы $h_{min}$ интервала возможных значений искомой величины. В пятом столбце представлены значения верхней границы $h_{max}$ того же интервала. Из сопоставления полученных результатов с данными наблюдений (см. таблицу 1) очевидно, что значения высот самых высоких горных массивов всех планет земной группы (за исключением Меркурия) лежат внутри полученных интервалов, что указывает на адекватность прогнозов предложенной модели и ее работоспособность. 2. Вычислим параметр $\beta$ для каждой планеты, согласно (5). Значения данного параметра для рассматриваемых планет представлены в шестой колонке таблицы 3. Очевидно, что параметр $\beta$ монотонно возрастает при переходе от более близкой к более далекой планете от Солнца, вплоть до Земли, а затем

Планета	$\mathfrak M$ , кг	$\mathfrak R$ , км	$h_{\min}$ , км	$h_{\max}$ , км	$\beta$	$r_{\min}^{(\min)}$ , км	$r_{\min}^{(\max)}$ , км	$M_{\min}^{(\min)}$ , кг	$M_{\min}^{(\max)}$ , кг
Меркурий	$3.30\cdot10^{23}$	2440	21.80	56.33	−0.501	31.15	80.46	$5.19\cdot10^{16}$	$1.16\cdot10^{18}$
Венера	$4.87\cdot10^{24}$	6052	9.09	23.48	0.133	12.98	33.54	$3.85\cdot10^{15}$	$8.58\cdot10^{16}$
Земля	$5.97\cdot10^{24}$	6371	8.22	21.23	0.152	11.74	30.32	$2.85\cdot10^{15}$	$6.34\cdot10^{16}$
Марс	$6.42\cdot10^{23}$	3390	21.63	55.89	0.127	30.90	79.84	$5.32\cdot10^{16}$	$1.18\cdot10^{18}$

начинает убывать. Это указывает на то, что чем ближе планета к Солнцу и чем меньше ее масса, тем действительная высота гор меньше относительно возможной. Очевидно, что это связано с гравитацией Солнца: чем ближе планета к Солнцу, тем оно сильнее оказывало разрушительное действие своими приливными силами на горные массивы планеты. И чем меньше масса планеты, тем она "слабее" сопротивлялась этому воздействию, в течение всего времени существования Солнечной системы. 3. Рассмотрим гору, имеющую форму конуса с круглым основанием. Из рис. 19 очевидно, что радиус конуса можно представить как

Вся исходная таблица трех расчетных высот, размеров и масс для четырех планет со всеми десятью столбцами — Таблица 3: значения масс и радиусов планет земной группы; значения искомых величин для данных планет.

r=h\operatorname{ctg}\alpha\qquad (97)

Чем больше угол $\alpha$ , тем меньше будет искомый радиус. Найдем максимальное значение $\alpha_{\max}$ угла наклона образующей конуса к горизонту. Для этого рассмотрим песчинку на поверхности горы (см. рис. 19). Запишем для нее второй закон Ньютона в предельном положении покоя: $m\vec g+\vec N+\vec F_{\text{тр}}=0.$

Весь исходный конус горы, вершина, основание, песчинка, все силы, угол и ось X — Рис. 19: к определению угла наклона образующей конуса горы.

В проекциях на ось $OX$ последнее уравнение представляется в виде:

mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}=0,\quad\Rightarrow mg\sin\alpha=\mu mg\cos\alpha,\quad\Rightarrow\operatorname{tg}\alpha_{\max}=\mu,\quad\Rightarrow\alpha_{\max}=\operatorname{arctg}\mu=35.0^\circ\qquad (98)

Следовательно, минимальный радиус кругового основания горы есть

r_{\min}=h/\operatorname{tg}\alpha_{\max}=h/\mu=1.43h\qquad (99)

А пограничные значения интервала возможных значений данной величины определяются формулами:

r_{\min}^{(\min)}=h_{\min}/\mu=1.43h_{\min},\quad r_{\min}^{(\max)}=h_{\max}/\mu=1.43h_{\max}\qquad (100)

Численные значения последних величин представлены в 7-8 столбцах таблицы 3. Из таблицы очевидно, что у Меркурия и Марса, планет с самыми малыми массами, возможные размеры гор (без учета солнечных приливов) являются наибольшими! 4. Минимальная масса гор будет достигаться при минимальном объеме конуса, который определяется выражением вида:

V_k=\frac\pi3h r_{\min}^2\qquad (101)

тогда минимальная масса горы есть

M_{\min}=\frac\pi3\rho h r_{\min}^2=\frac{\pi\rho h^3}{3\mu^2}\qquad (102)

Пограничные значения интервала допустимых значений, очевидно, запишутся в виде:

M_{\min}^{(\min)}=\frac{\pi\rho_{\min}h_{\min}^3}{3\mu^2},\quad M_{\min}^{(\max)}=\frac{\pi\rho_{\max}h_{\max}^3}{3\mu^2}\qquad (103)

Численные значения последних величин представлены в 9-10 столбцах таблицы 3. Тенденции в отношении массы аналогичны тенденциям в случае геометрических размеров гор. Ответ:

к задаче представлен результатами (96), (99), (103) и численными значениями таблицы 3. (14 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf