Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №16. «Спектр быстро вращающейся планеты»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019. Заочная олимпиада по астрономии. Тур №2. 8–9 классы. · 13 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены буквальные различия двух оригиналов: в повторном условии №8 ограничение касается собственного движения Солнца перпендикулярно лунному; в №10 ссылка на закон (11); в №16 ширина щели h вместо исходных χ/f; в №17 ссылка на таблицу3 рядом с таблицей1 и pmax вместо исходного ρ в интервале напряжения. В ключе оставлены: два |r21| подряд; знак Венеры V♀ в формуле43; 86год до н.э. в выводе и66год в ответе №13; «в начале июня» для афелия; Rp назван радиусом звезды, Rp=rp/x и as≈Rs; единица кг у большой полуоси Земли; (18.02/PСЗ)·41≈210лет; a⊙ в формуле52; подпись рис.20 о конусе горы. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

SAMRAS-2019. Тур №2. 8–9 классы

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР №2 Самаpа, 2019 г.

Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур №2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено на стр.13–20 условий и повторено на стр.42–49 решений.

Условие

В спектрограф с разрешением $\chi$ наблюдают за быстро вращающейся планетой, при этом щель спектрографа ориентирована вдоль ее экватора. Объектив инструмента имеет фокусное расстояние $f$ . Ее спектр представляется серией наклонных прямых линий.

1 Дайте развернутое объяснение данному факту. (1 балл).

2 Определите скорость экваториальных точек поверхности планеты, если известны для некоторой линии угол $\alpha$ ее наклона к экватору планеты и соответствующая лабораторная длина $\lambda_0$ волны. (4 балл).

3 Определите также период осевого вращения планеты, если известен экваториальный параллакс планеты $p_0$ и ее угловой радиус $\rho$ . (4 балла).

4 Как зависит тангенс угла $\alpha$ наклона линии от длины волны? Для каких длин волн данный угол измерять проще? (2 балла).

5 Оцените массу планеты, если известно, что состояние последней близко к нарушению ее ротационной устойчивости. (2 балла).

Решение

Задача №16. «Спектр быстро вращающейся планеты»

В спектрограф наблюдают за быстро вращающейся планетой, при этом щель спектрографа ширины $h$ ориентирована вдоль ее экватора. Ее спектр представляется серией наклонных прямых линий.

Задача №16. «Спектр быстро вращающейся планеты»

Дано:

$\chi$ , f, $\alpha$ , $\lambda _{0}$ , $p_{0}$ , $\rho$ .

Найти:

объяс-ние факта-? $v_{0}$ , $T$ -? $\operatorname{tg} \alpha (\lambda _{0})$ , $\mathfrak{M}_{p}$ -?

Решение:

Спектральная линия, наблюдаемая в спектрограф, есть изображение щели спектрографа в данной длине волны, в которой объект темнее (в случае линии поглощения) или светлее (в случае линии излучения), чем в окружающей спектральной области. Предположим, что в фокальной плоскости прибора создается изображение планеты с экваториальным радиусом $R_{0}$ . За счет вращения планеты вид спектральной линии будет искажен, но она останется прямой. Покажем это.

Пусть точка $A$ принадлежит экватору и отстоит от меридиана, ориентированного к наблюдателю, на угол $\gamma$ (см. рис. 18). Для наблюдателя эта точка будет отстоять от центра диска на расстояние $R = R_{0} \sin \gamma$ , а ее лучевая проекция скорости $v = v_{0} \sin \gamma$ , тогда

v=v_0\left(\frac R{R_0}\right)\qquad (83)

Обе полные исходные панели а/б: весь планетный шар, глаз, спектральная линия, рамка, все векторы, точки и углы — Рис. 18: к определению наклона спектральной линии.

В силу эффекта Доплера, часть спектральной линии, соответствующей точке $A$ испытает изменение длины волны $\Delta \lambda$ :

\Delta\lambda=\lambda_0\left(\frac vc\right)=\lambda_0\left(\frac{v_0}c\right)\left(\frac R{R_0}\right)\qquad (84)

Поскольку, у любого спектрографа разрешающая способность (как отношение разности длин волн двух соседних спектральных линий к расстоянию между этими линиями в наблюдаемом спектре) известна и равна

\chi=\frac{\Delta\lambda}{\Delta\ell},\quad\Rightarrow\Delta\ell=\frac1\chi\Delta\lambda\qquad (85)

Из (84) и (85) следует, что

\Delta\ell=\left(\frac{\lambda_0}\chi\right)\left(\frac{v_0}c\right)\frac R{R_0}=\operatorname{tg}\alpha\cdot R,\quad\text{где }\operatorname{tg}\alpha=\left(\frac{\lambda_0}\chi\right)\left(\frac{v_0}c\right)\frac1{R_0}\qquad (86)

Очевидно, что последнее выражение есть уравнение прямой $\Delta \ell (R)$ . 2. Из (86) следует скорость экваториальных точек поверхности планеты (при $R=R_0$ ):

v_0=c\left(\frac\chi{\lambda_0}\right)R_0\operatorname{tg}\alpha\qquad (87)

где

R_0=\rho f\qquad (88)

С другой стороны линейный радиус планеты есть

R_p=R_\oplus\left(\frac\rho{p_0}\right)\qquad (89)

здесь $\mathfrak{R}_{\oplus}$ – радиус Земли. И экваториальную скорость можно записать иначе

\begin{aligned}v_0&=\frac{2\pi R_p}{T_p},\quad T_p=\frac{2\pi R_\oplus}c\left(\frac\rho{p_0}\right)\left(\frac{\lambda_0}\chi\right)\frac1{\rho f\operatorname{tg}\alpha},\quad\Rightarrow\\T_p&=\frac{2\pi R_\oplus}{cf\operatorname{tg}\alpha}\left(\frac{\lambda_0}{p_0}\right)\frac1\chi.\end{aligned}\qquad (90)

Из выражений (86), (88) следует формула для $\operatorname{tg} \alpha$ :

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\lambda_0}{\rho f}\left(\frac{v_0}c\right)\frac1\chi\qquad (91)

Очевидно, что зависимость $\operatorname{tg} \alpha$ от $\lambda _{0}$ является линейной. Чем больше угол, тем проще его измерить. Следовательно, проще его измерить для красных лучей с бо́льшей длиной волны. 5. Если состояние планеты близко к нарушению ее ротационной устойчивости, то для любого малого элемента вещества экватора планеты скорость $v_{0}$ , фактически, должна быть равна первой космической скорости планеты:

v_0=\sqrt{\frac{GM_p}{R_p}},\quad\Rightarrow M_p=\frac{R_p}Gv_0^2=\frac{R_\oplus}G\left(\frac{\rho^3}{p_0}\right)c^2\left(\frac\chi{\lambda_0}\right)^2f^2\operatorname{tg}^2\alpha\qquad (92)

Ответ:

к задаче представляется формулами (86)-(88), (90)-(92). (13 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf