Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №15. «Особенности солнечных и лунных затмений»

Задача №15. «Особенности солнечных и лунных затмений»

Решение:

1. Для наступления солнечного или лунного затмений необходимо выполнение двух условий: а) Луна должна располагаться в малой окрестности прямой «Солнце-Земля»: либо между этими телами (в случае солнечного затмения), либо в оппозиции к Солнцу (в случае лунного затмения); б) Луна должна находиться вблизи одного из узлов своей орбиты. 2. Саросом или драконическим периодом называется интервал из 223 синодических месяцев (в среднем, приблизительно 6585.3211 суток, или 18 лет и $10\tfrac13$ или $11\tfrac13$ суток, в зависимости от количества високосных лет в данном периоде). Этот промежуток времени почти в точности равен 242 драконическим месяцам (т.е. промежутку времени, между двумя последовательными прохождениями Луны через один и тот же узел орбиты в ее движении вокруг Земли). Их продолжительность составляет 6585.36 сут., т.е. через указанное время Луна возвращается к тому же узлу орбиты. К тому же узлу возвращается и Солнце, поскольку проходит целое число драконических лет (19 лет или 6585.78 сут.), т.е. периодов прохождения Солнца через один и тот же узел орбиты Луны. Кроме того, указанное время почти в точности равно 239 аномалитических месяцев Луны (что составляет 6585.54 сут. и представляет собой промежуток

времени между двумя последовательными прохождениями Луны через перигей в ее движении вокруг Земли), так что соответствующие затмения в каждом саросе наступают при одинаковом удалении Луны от Земли и имеют одну и ту же длительность. В течение одного сароса, в среднем, проходит $N_{\odot}$ =41 солнечных затмений и $N_{\text{☾}}$ =29 лунных затмений. Тогда отношение их есть $\eta = N_{\odot}/N_{\text{☾}} = 1.41$ . Обоснуем строго математически данное отношение. Будем полагать, что солнечные и лунные затмения происходят случайным образом в разных точках лунной орбиты. Следовательно, отношение $\eta$ на больших временных интервалах должно быть равно отношению длин дуг орбиты, где могут происходить солнечные и лунные затмения. Очевидно, солнечные затмения происходят на дуге орбиты $\breve{AB}$ (см. рис. 15), пока тень Луны попадает на тело Земли.

Лунные затмения могут быть реализованы лишь, когда Луна находится на дуге $\breve{C D}$ , т.е. внутри конуса земной тени.

С другой стороны,

Из (64)-(66) следует явное выражение для дуги

Следовательно

Полученное значение является весьма близким к значению, полученному ранее, что позволяет считать сделанные выкладки математическим обоснованием данного факта. 3. С данной точки поверхности Земли чаще можно наблюдать лунное затмение, поскольку последнее наблюдается с любой точки ночной стороны Земли, а солнечное затмение наблюдается лишь в том месте, куда упала тень (полутень) от Луны. Вероятность увидеть лунное затмение есть

здесь $S_{\text{ноч}}$ – площадь «ночной» стороны Земли, $S_{\oplus}$ – площадь всей поверхности Земли. Т.о., каждое второе лунное затмение можно увидеть с поверхности Земли. Определим диаметр лунной тени во время солнечного затмения. Из рисунка 16 видно, что

тогда

Следовательно, диаметр тени Луны на Земле есть

Как известно, расстояния до Луны и Солнца меняются в пределах:

где $a_{\text{☾}}^{(0)}$ =384399 км, $\varepsilon _{\text{☾}}$ =0.055 – большая полуось и эксцентриситет лунной орбиты: $a_{\oplus}^{(0)}= 1.496 \cdot 10^{8}$ кг $\varepsilon _{\oplus}$ =0.0167 – большая полуось и эксцентриситет земной орбиты. На рисунке 17 показана область, где $D_{sh} \ge 0$ . Нетрудно убедиться в том, что условие $D_{sh} \ge 0$ выполняется лишь в области возможных значений

$(a_{\text{☾}}, a_{\oplus})$ , которая составляет долю $x$ =0.40 от всей области допустимых значений (72). При этом $D_{sh}$ может изменяться в пределах

Во время полного затмения лунная тень проходит полосу шириной $D_{sh}$ и длиной $\ell$:

Следовательно, лунная тень «заметает» площадь на плоском диске Земли (если смотреть с Луны):

Тогда вероятность наблюдать солнечное затмение в данном месте можно оценить как

Следовательно, одно такое событие можно наблюдать через $1/P_{\text{СЗ}}=472$ солнечных затмений. Учитывая, что в одном саросе 41 солнечное затмение, получаем, что одно такое затмение происходит за $\dfrac{18.02}{P_{\text{СЗ}}}\cdot41\approx210$ лет (более точные оценки дают значение $250\div300$ лет). 4. Частное солнечное затмение – вид солнечного затмения, при котором лунный диск закрывает лишь частично диск Солнца, а земной наболюдатель попадает в область лунной полутени. Полное затмение происходит при полном покрытии диска Солнца Луной (см. рис. 16). Вероятность наблюдения полного солнечного затмения тем выше, чем меньше угловой диаметр Солнца, что достигается в случае пребывания Солнца в афелии в начале июля. Т.о., летом полные солнечные затмения наблюдаются наиболее часто. Максимальная фаза такого затмения есть

5. Кольцевое затмение – это вид солнечного затмения, реализуемое в случае, когда угловой диаметр Солнца больше лунного, в результате чего, диск Луны не может полностью закрыть диск Солнца, даже, если проходит через его центр. Чаще всего оно наблюдается, когда угловой диаметр Солнца максимален, т.е. когда Земля находится в перигелии зимой (в начале января).

6. Действительно, самые продолжительные затмения наблюдаются в тропическом поясе. Продолжительность затмения (полного или частного) пропорциональна угловому диаметру Луны и обратно пропорциональна скорости ее относительного движения $(\omega _{rel})$ :

Поскольку

Угловая скорость относительно движения определяется разностью орбитальной скорости Луны и точки поверхности Земли (поскольку их движения сонаправлены):

$\omega_{rel}$ будет минимальна на экваторе, где $v_{\oplus}= \omega_{\oplus}\mathfrak{R}_{\oplus}$ достигает максимума. Из (79)-(81) следует, что

Очевидно, искомое время $\tau$ максимально для наблюдателя на экваторе. (13 баллов).