Съдържание

Самара 2019, II кръг (очен), 8–9 клас — Задача №14. «Полет к экзопланете и определение ее массовой плотности»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2019

SAMRAS-2019. Заочная олимпиада по астрономии. Тур №2. 8–9 классы. · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены буквальные различия двух оригиналов: в повторном условии №8 ограничение касается собственного движения Солнца перпендикулярно лунному; в №10 ссылка на закон (11); в №16 ширина щели h вместо исходных χ/f; в №17 ссылка на таблицу3 рядом с таблицей1 и pmax вместо исходного ρ в интервале напряжения. В ключе оставлены: два |r21| подряд; знак Венеры V♀ в формуле43; 86год до н.э. в выводе и66год в ответе №13; «в начале июня» для афелия; Rp назван радиусом звезды, Rp=rp/x и as≈Rs; единица кг у большой полуоси Земли; (18.02/PСЗ)·41≈210лет; a⊙ в формуле52; подпись рис.20 о конусе горы. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

SAMRAS-2019. Тур №2. 8–9 классы

САМАРСКИЙ ДВОРЕЦ ДЕТСКОГО И ЮНОШЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ЗАОЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2019 СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ. ТУР №2 Самаpа, 2019 г.

Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2019 среди обучающихся 8-9 классов. Тур №2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/solutions Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника SamRAS-2019 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp 3. Сроки подачи работ SamRAS-2019 тура №2 на проверку: 15.02.2019-15.05.2019!!! 4. Электронный ящик SamRAS-2019: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2019, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2019»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено на стр.13–20 условий и повторено на стр.42–49 решений.

Условие

Космический корабль будущего был направлен к вновь открытой экзопланете. При подлете к ней было обнаружено, что планета движется (период этого движения не известен!) вокруг центральной звезды по круговой орбите, радиус которой в $\chi$ раз больше радиуса планеты, при этом планета всегда ориентирована одной стороной на центральное светило. Корабль вышел на круговую экваториальную орбиту вокруг планеты. При каком отношении масс звезды и планеты $(x=\mathfrak M_*/\mathfrak M_p)$ космонавты, используя только бортовые часы, смогут определить среднюю массовую плотность экзопланеты максимально точно? (12 баллов).

Решение

Задача №14. «Полет к экзопланете и определение ее массовой плотности»

Дано: $r_p/R_p=\chi$ , $T_p=P_p$ . Найти: $x=\mathfrak M_*/\mathfrak M_p$ – ?

Решение: Согласно определению, средней массовой плотностью планеты называется отношение массы планеты $\mathfrak M_p$ к ее объему (объему шара):

\bar\rho=\frac{M_p}{(4\pi/3)R_p^3}\qquad (53)

здесь $\mathfrak{R}_{p}$ – радиус звезды. С учетом, что $\mathfrak{R}_{p} = r_{p}/x$ , тогда (53) можно переписать в виде:

\bar\rho=\frac{3M_p\chi^3}{4\pi r_p^3}\qquad (54)

Далее воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера для системы «звезда-планета»:

(M_*+M_p)=\frac{4\pi^2r_p^3}{GT_p^2},\quad\Rightarrow\frac{M_p}{4\pi r_p^3}=\frac\pi{GT_p^2(1+x)}\qquad (55)

Из (54) и (55) следует, что

\bar\rho=\frac{3\pi\chi^3}{GT_p^2(1+x)}\qquad (56)

Воспользуемся третьим обобщенным законом Кеплера для системы «планета-корабль».

(M_p+m)=\frac{4\pi^2a_s^3}{GT_s^2}\qquad (57)

здесь $m$ – масса космического корабля, $a_{s}, T_{s}$ – большая полуось и сидерический период обращения космического корабля. Масса корабля традиционно много меньше массы планеты (т.е. $m \ll \mathfrak{M}_{p}$ ). Следовательно, уравнение (57) можно переписать так

M_p=\frac{4\pi^2a_s^3}{GT_s^2}\qquad (58)

Из (53) и (58) следует альтернативное выражение для плотности

\bar\rho=\frac{3\pi}{GT_s^2}\left(\frac{a_s}{R_p}\right)^3\qquad (59)

Очевидно, бортовыми часами можно измерить лишь синодический период обращения корабля $(S)$ , как промежуток времени между двумя его последовательными прохождениями над какой-либо достопримечательностью экватора. Чтобы ее заметить невооруженным глазом необходимо чтобы корабль

был на низкой орбите. Далее будем полагать, что радиус орбиты корабля равен радиусу планеты $a_{s} \approx \mathfrak{R}_{s}$ . Тогда согласно (59) $\bar{\rho}$ определяется лишь сидерическим периодом обращения корабля вокруг планеты. Запишем уравнение для синодического периода

\frac1S=\frac1{T_s}-\frac1{P_p},\quad\text{или}\quad\frac1S=\frac1{T_s}-\frac1{T_p}\qquad (60)

Очевидно, для максимально точного определения плотности планеты по формуле (59), необходимо, чтобы период $T_s\to S$ , что возможно лишь при условии $T_s\ll T_p$ или

\frac{T_s}{T_p}\ll1.\qquad (61)

Приравняем (56) и (59). В результате получаем

\frac{3\pi\chi^3}{GT_p^2(1+x)}=\frac{3\pi}{GT_s^2},\quad\Rightarrow\left(\frac{T_s}{T_p}\right)^2=\frac{1+x}{\chi^3}\ll1,\quad\Rightarrow x\ll\chi^3-1

или

\frac{\mathfrak M_*}{\mathfrak M_p}\ll\chi^3-1.\qquad (62)

Последнее ограничение и есть искомый ответ к задаче. Ответ:

к задаче представлен выражением (62). (12 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2019-2]_8-9 classes.pdf