Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17. «Спутник связи в зените Самары»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 14 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2020 тура № 1 на проверку: 15.10.2019-15.01.2020!!!
Электронный ящик SamRAS-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

Для обеспечения бесперебойной связи г. Самары с другими городами мира была предложена модель запуска искусственного спутника Земли, который находился бы максимально возможное время вблизи зенита г. Самары ( $\varphi_S = 53^{\circ}12'$ ). Какой должна быть орбита этого спутника? (14 баллов).

Отговори

Решение

Решение. Как известно, искусственный спутник Земли может постоянно находиться в зените только на экваторе, если этот спутник – геостационарный. Для того чтобы спутник мог оказаться в зените на самарском небе, наклонение его орбиты к плоскости экватора должно быть не меньше широты Самары $\varphi_S = 53^{\circ}12'$ , а лучше – в точности совпадать с ним. В этом случае склонение спутника будет близко к данной величине, в течение продолжительного времени. Чтобы спутник, оказавшись в зените в Самаре, вновь попал туда в свой следующий оборот, его период $T$ должен быть кратным звездным суткам $P_{\oplus} = 23^{\text{ч}}56^{\text{м}}$ . Максимальное время вблизи зенита спутник проведет в случае равенства его периода обращения и звездных суток. С использованием третьего обобщенного закона Кеплера большая полуось орбиты спутника будет равна

a = \left(\frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}P_{\oplus}^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 42170\ \text{км}, \qquad (54)

последнее значение есть радиус геостационарной орбиты. Однако, вариант круговой орбиты, отличающийся от геостационарной лишь своим наклоном, не является оптимальным.

Для того чтобы спутник на какое-то время практически останавливался на самарском небе в зените, нужно, чтобы в этот момент его угловая скорость сравнялась с геоцентрической угловой скоростью самарских наблюдателей на вращающейся Земле (см. рис. 12). Данная угловая скорость равна

\omega_S = \frac{V_S}{\mathfrak{R}_{\oplus}} = \frac{2\pi}{P_{\oplus}}\cos\varphi_S, \qquad (55)

что отличается от угловой скорости вращения геостационарного спутника на множитель $\cos\varphi_S$ . Поэтому для выполнения условия задачи спутник нужно вывести на эллиптическую орбиту с большой полуосью $a$ и наклонением $i = \varphi_S$ , точка апогея которой находилась бы над самарской параллелью.

Далее найдем эксцентриситет орбиты $\varepsilon$ . В точке апогея спутник находится на расстоянии $Q$ от центра Земли:

Q = a(1 + \varepsilon). \qquad (56)

Из второго закона Кеплера и закона сохранения энергии можно получить формулу для скорости спутника в апогее:

V_Q = \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{a}\left(\frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}\right)}. \qquad (57)

Скорость в апогее направлена перпендикулярно радиусу-вектору. Угловая скорость спутника будет равна

\omega = \frac{V_Q}{Q} = \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{a^3}\frac{(1 - \varepsilon)}{(1 + \varepsilon)^3}} = \frac{2\pi}{P_{\oplus}}\sqrt{\frac{(1 - \varepsilon)}{(1 + \varepsilon)^3}}. \qquad (58)

При записи последнего выражения был учтен результат (54). Приравнивая ее к угловой скорости наблюдателей в Самаре, получаем

\frac{1 - \varepsilon}{(1 + \varepsilon)^3} = \cos^2\varphi_S, \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon = \xi(1 + \varepsilon)^3, \ \ \text{где}\ \ \xi = \cos^2\varphi_S = 0.3588. \qquad (59)

Т.о., здесь получено кубическое уравнение относительно переменной $\varepsilon$ . Данное уравнение можно решить методом подбора или графически. Рассмотрим последний метод подробнее. Согласно (59), мы имеем равенство двух функций:

f_1(\varepsilon) = 1 - \varepsilon, \ \ f_2(\varepsilon) = \xi(1 + \varepsilon)^3.

Построим данные функции над одном графике (см. рис. 13) и найдем их точку пересечения – $\varepsilon = 0.2682$ . При этом расстояние до апогея составит $Q = 53.48$ тыс. км., а от Самары, когда он находится в зените – 47.11 тыс. км.

Ответ: орбита эллиптическая, с наклонением $i = \varphi_s$ , большой полуосью $a = 42170$ км и эксцентриситетом $\varepsilon = 0.2682$ , причем апогей его орбиты должен быть вблизи зенита Самары. (14 баллов).

Большой светло-серый эллипс орбиты спутника; внутри у правого края голубой круг «Земля» и серый круг с точкой N; на поверхности отмечена точка «Самара» со скоростью V_S вниз; слева на орбите точка «Спутник» в апогее со скоростью V вниз; отрезок Q от спутника до центра Земли. — Рис. 12: к определению орбиты спутника.

График f(ε) при ε от 0 до 1: синяя убывающая прямая f1 от 1 до 0 и красная возрастающая кривая f2 от около 0.36 до около 2.9; точка их пересечения отмечена желтым кружком при ε ≈ 0.27, f ≈ 0.73, с пунктирными проекциями на оси. — Рис. 13: к определению эксцентриситета орбиты спутника.

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ. A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ · кг $^{-1}$ $\cdot\ c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/c
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2$ · c $^{-2}$ ·K $^{-1}$ · моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}$ ·K $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·c $^{-1}$ ·Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;

\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;

\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;

\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};

(1 + x)^n \approx 1 + n\,x;

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось		Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики	Период обращения	Синодический период
	млн. км	а.е.		градусы		сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса		Радиус		Плотность	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	массы Земли	км	радиусы Земли	г·см $^{-3}$		градусы
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса	Радиус	Плотность	Радиус орбиты	Период обращения	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	км	г·см $^{-3}$	км	сут
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике и график для уравнения времени

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2020-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2020-1]_8-9 classes.pdf