Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. «Аналемма и годичное движение Солнца»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1 · 15 т.

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 8-9 классов к решению задач ее заключительного этапа.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии SAMRAS-2020 среди обучающихся 8-9 классов. Тур № 1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника SamRAS-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: http://vk.com/samrasolimp
Сроки подачи работ SamRAS-2020 тура № 1 на проверку: 15.10.2019-15.01.2020!!!
Электронный ящик SamRAS-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника заочной олимпиады SamRAS-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника заочной олимпиады по астрономии SamRAS-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Условие

На рис. 4 представлена аналемма – последовательность положений Солнца над горизонтом, зафиксированных в одном и том же месте наблюдения, в одно и тоже время суток, в течение года. Здесь указано положение математического горизонта. С использованием данной фотографии, определите:

Круговая диаграмма из справочных данных (A.9): в центре Солнце, вокруг – орбита Земли с положениями Земли, внешнее кольцо разбито на зодиакальные созвездия с датами входа Солнца и продолжительностью пребывания: Лев 37 д (10.08–16.09), Дева 45 д (16.09–31.10), Весы 23 д (31.10–23.11), Скорпион 7 д (23.11–30.11), Змееносец 18 д (30.11–18.12), Стрелец 32 д (18.12–20.01), Козерог 28 д (20.01–16.02), Водолей 24 д (16.02–12.03), Рыбы 38 д (12.03–19.04), Овен 25 д (19.04–14.05), Телец 37 д (14.05–20.06), Близнецы 31 д (20.06–21.07), Рак 20 д (21.07–10.08). — Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

График из справочных данных (A.9): по горизонтали месяцы и даты года (Янв. – Дек.), по вертикали η, мин от −16 до +16; сплошная кривая 1 (уравнение времени) с максимумом около +14 мин в феврале и минимумом около −16 мин в начале ноября, штриховая синусоида 2 (уравнение центра) и штрихпунктирная кривая 3 (от наклона эклиптики). — Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

1. Момент времени суток, в который производилась съемка (1 балл);

2. Положение небесного экватора (указать на бумажной копии фотографии) (1 балл);

Фотография города у реки (здание парламента слева, теплоход справа) с облаками; над облаком – вертикальная «восьмерка» аналеммы из снимков диска Солнца, верхняя петля меньше нижней; у реки проведена линия с подписью «Горизонт». — Рис. 4: Аналемма (автор – Soponyai Gyorgy, 2018-2019).

3. Угловой масштаб фотографии (2 балла);

4. Причину асимметрии аналеммы. Не прибегая к расчетам, определите полушарие, из которого была выполнена съемка (2 балла);

5. Широту места съемки (3 балла);

6. Минимальную и максимальную высоту Солнца в данном месте над горизонтом (2 балла);

7. Направление годичного перемещения Солнца вдоль аналеммы (2 балла);

8. Даты, в которые Солнце прошло "узел восьмерки" (2 балла).

Отговори

Решение

Решение. 1. Поскольку аналемма занимает фактически вертикальное положение, то съемка велась в районе местного полудня, в частности, в дни солнцестояний уравнение времени близко к нулю (см. рис. A.2, приложение А.9) и тогда местное среднее и солнечное время равны, а значит равны и часовые углы Солнца в эти дни.

2. В течение года склонение Солнца изменяется в пределах:

-\varepsilon_{\odot} \le \delta_{\odot} \le \varepsilon_{\odot}, \qquad (60)

где $\varepsilon_{\odot} = 23^{\circ}26'$ – угол между экватором и эклиптикой, самая нижняя и верхняя точки аналеммы отвечают положению солнцестояний. Следовательно, общая высота аналеммы равна $2\varepsilon_{\odot}$ , а экватор должен делить ее ровно пополам (параллельно горизонту, см. рис. 14).

3. Для определения углового масштаба фотографии измеряем по фотографии высоту аналеммы $\ell_0 = 127$ мм, предварительно, достроив ее нижнюю часть. В итоге искомый масштаб есть

\mu_a = \frac{2\varepsilon_{\odot}}{\ell_0} = 0.369^{\circ}/\text{мм}. \qquad (61)

4. Асимметрия аналеммы обусловлена эллиптичностью орбиты Земли и большими вариациями уравнения времени вблизи зимнего солнцестояния, что делает один ее "лепесток" значительно шире другого.

Поскольку более широкий лепесток находится внизу, значит наинизшее положение Солнца соответствует моменту зимнего солнцестояния, а наивысшая точка аналеммы – летнему солнцестоянию, значит съемка была выполнена из северного полушария.

5. Определим по фотографии расстояние от экватора до горизонта (на уровне оси симметрии аналеммы) – $\ell_1 = 101$ мм. Определим угол $\Psi$ между экватором и горизонтом вблизи меридиана:

\Psi = \mu_a\cdot\ell_1 = 37.27^{\circ}. \qquad (62)

С другой стороны, угол $\Psi$ равен

\Psi = 90^{\circ} - \varphi, \ \Rightarrow \ \varphi = 90^{\circ} - \Psi = 52^{\circ}44'. \qquad (63)

6. Минимальное и максимальное значения высоты Солнца в полдень достигаются в дни зимнего и летнего солнцестояний:

h_{\min} = 90^{\circ} - \varphi - \varepsilon_{\odot} = 13^{\circ}50' \qquad (64)

h_{max} = 90^{\circ} - \varphi + \varepsilon_{\odot} = 60^{\circ}42'. \qquad (65)

7. Поскольку до дня зимнего солнцестояния уравнение времени отрицательно, то местное время меньше истинного солнечного, то местный средний полдень наступает позже истинного, следовательно Солнце должно занимать положение справа от меридиана если автор снимка ориентировал свой фотоаппарат в южную часть небосвода, тогда направление движения Солнца по аналемме должны быть таким, как показано на рис. 14.

8. Заметим, что узел "восьмерки" фактически находится на одной отвесной линии с самой верхней и нижней точками аналеммы. Значит часовые углы Солнца в этих точках были одинаковыми, моменты по шкале истинного солнечного времени одинаковыми, а значит и уравнение времени во всех этих точках одно и тоже. Как было показано выше в момент солнцестояний уравнение времени, приблизительно, равно нулю, значит и в моменты времени, соответствующие "узлу восьмерки" также эта величина равна нулю. Согласно рис. А.2. (приложение А.9) данные моменты времени соответствуют 16 апреля и 29 августа.

Ответ: 1) полдень; 2) указан на рис. 14; 3) $\mu_a = 0.363^{\circ}/\text{мм}$ ; 4) эллиптичность орбиты Земли, северное; 5) $\varphi = 52^{\circ}44'$ ; 6) $h_{\min} = 13^{\circ}50'$ , $h_{\max} = 60^{\circ}42'$ ; 7) указана на рис. 14; 8) 16.04 и 29.08. (15 баллов).

Фотография аналеммы над рекой (та же, что на рис. 4) с построениями: желтая горизонтальная линия «Небесный экватор» делит аналемму пополам, на ней красные точки B и A (узел «восьмерки»); желтые стрелки вдоль ветвей аналеммы показывают направление годичного движения Солнца (в верхней петле – вниз слева и вверх справа, в нижней – вверх слева и вниз справа); у реки розовая линия с подписью «Горизонт». — Рис. 14: К определению искомых величин по аналемме.

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ. A.1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ · кг $^{-1}$ $\cdot\ c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8$ м/c
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2$ · c $^{-2}$ ·K $^{-1}$ · моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг·с $^{-3}$ ·K $^{-4}$
Постоянная Авогадро – $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·c $^{-1}$ ·Мпк $^{-1}$

A.2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Солнечная постоянная (во всем спектре) на расстоянии Земли – 1361 Вт/м $^2$
Солнечная постоянная (в видимом свете) на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

A.3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Средний по объему радиус – 6371.0 км
Средний экваториальный радиус – 6378.14 км
Длина земного меридиана – 20004.276 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

A.4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

A.5. Формулы приближенного вычисления

\sin x \approx \mathrm{tg}\, x \approx x;

\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;

\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;

\mathrm{tg}(x \pm \alpha) \approx \mathrm{tg}\,\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};

(1 + x)^n \approx 1 + n\,x;

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

A.6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось		Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики	Период обращения	Синодический период
	млн. км	а.е.		градусы		сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

A.7. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса		Радиус		Плотность	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	массы Земли	км	радиусы Земли	г·см $^{-3}$		градусы
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.8. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса	Радиус	Плотность	Радиус орбиты	Период обращения	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
	кг	км	г·см $^{-3}$	км	сут
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

$^{\dagger}$ – обратное вращение.

A.9. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике и график для уравнения времени

Рис. A.1. Диаграмма видимого годичного движения Солнца по эклиптике.

Рис. A.2. График уравнения времени: 1 – уравнение времени, 2 – уравнение центра, 3 – уравнение от наклона эклиптики.

A.10. Некоторые характеристики звезд

Болометрические поправки $\Delta M_b$

Спектр	$\Delta M_b$	Спектр	$\Delta M_b$ : Гл. последовательность	$\Delta M_b$ : Гиганты	$\Delta M_b$ : Сверхгиганты
B0	– 2.70	F5	– 0.04	– 0.08	– 0.12
B5	– 1.58	F8	– 0.05	– 0.17	– 0.28
A0	– 0.72	G0	– 0.06	– 0.25	– 0.42
A5	– 0.31	G2	– 0.07	– 0.31	– 0.52
F0	– 0.09	G5	– 0.10	– 0.39	– 0.65
F2	– 0.04	G8	– 0.10	– 0.47	– 0.80
		K0	– 0.11	– 0.54	– 0.93
		K2	– 0.15	– 0.72	– 1.20
		K3	– 0.31	– 0.89	– 1.35
		K4	– 0.55	– 1.11	– 1.56
		K5	– 0.85	– 1.35	– 1.86
		M0	– 1.43	– 1.55	– 2.2
		M1	– 1.70	– 1.72	– 2.6
		M2	– 2.03	– 1.95	– 3.0
		M3	– 2.35	– 2.26	– 3.6
		M4	– 2.7	– 2.72	– 3.8
		M5	– 3.1	– 3.4	– 4.0

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2020-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[SAmRAS_2020-1]_8-9 classes.pdf