Съдържание

Самара 2020, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 2. Взгляд на систему «Земля-Луна» из окрестностей Красной планеты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 10-11 класс

Условие

На рис. 1 представлена фотография системы «Земля-Луна», полученная космическим аппаратом Mars Reconnaissance Orbiter (MRO), пребывающим в окрестности Красной планеты. В какой конфигурации находилась система относительно MRO? В какой конфигурации располагалась Красная планета для земного наблюдателя в этот момент? Оцените с использованием данной фотографии

Фотография на чёрном фоне: в правом верхнем углу крупный серп Земли (освещена левая половина диска с облаками), в левом нижнем углу маленький серп Луны. — Рис. 1: фотография системы «Земля-Луна», полученная КА MRO.

а) расстояние от КА до данной системы (в а.е.) в момент съемки;

б) угловые диаметры Земли и Луны в этом положении (в угл. сек.),

в) максимально возможное угловое расстояние между телами системы (в угл. мин.) с позиции Красной планеты в этот момент.

Следует полагать орбиты всех рассматриваемых планет круговыми и лежащими в одной плоскости.

Отговори

Решение

Та же фотография, что в условии: серп Земли в правом верхнем углу и маленький серп Луны в левом нижнем углу на чёрном фоне. — Рис. 2: фотография системы «Земля-Луна», полученная КА MRO.

а) Две штриховые концентрические орбиты; Солнце S, Земля E на внутренней орбите, Марс M на внешней; прямой угол при E, стороны a⊕ и aм. б) Марс M слева, Луна L сверху справа и Земля E снизу справа, отрезок LE длины a☾ перпендикулярен линии MO; угол d″max при M. — Рис. 3: к определению а) взаимного расположения планет, б) максимального углового расстояния $d''_{\max}$ между телами системы.

Решение.

1. Очевидно, что фазы Земли и Луны близки к 0.5, следовательно фотография получена вблизи их наибольшей элонгации с позиции Красной планеты (MRO) (3 балла). Сказать какая именно элонгация невозможно, поскольку в условиях задачи отсутствует описание условий съемки.

2. С точки зрения земного наблюдателя (см. рис. 3.а) Марс будет находиться в квадратуре (2 балла).

3. Расстояние от АМС до системы "Земля-Луна" есть отрезок $ME$ (здесь точка $M$ определяет положение Марса, $E$ – Земли, $S$ – Солнца). С использованием теоремы Пифагора получаем

ME = \Delta = \sqrt{a_{\text{м}}^2 - a_{\oplus}^2} = 1.150\ \text{а.е.} = 171983016\ \text{км}. \ \text{(3 балла)} \qquad (7)

4. Определим угловые диаметры Земли и Луны в этой конфигурации:

D''_{\oplus} = \frac{2\,\Re_{\oplus}}{\Delta}\cdot 206265'' = 15.3'', \quad \text{(3 балла)} \quad D''_{\text{☾}} = \frac{2\,\Re_{\text{☾}}}{\Delta}\cdot 206265'' = 4.2''. \ \text{(3 балла)} \qquad (8)

5. Максимальное угловое расстояние между Луной и Землей будет достигаться, когда большая полуось (радиус) орбиты относительного движения Луны (см. рис. 3.б) будет перпендикулярна направлению на Марс (2 балла). Из данного рисунка следует, что

\operatorname{tg}\frac{d_{\max}}{2} = \frac{a_{\text{☾}}}{2\Delta}, \ \Rightarrow\ d_{\max} = \frac{a_{\text{☾}}}{\Delta}\cdot 206265'' = 461'' = 7.68'. \ \text{(4 балла)} \qquad (9)

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Корректно определены конфигурации системы «Земля-Луна»+ Марса	3+2
Правильное определение расстояния от КА до данной системы	3
Корректно определены угловые диаметры Земли и Луны в этой конфигурации	3+3
Определение ситуации с максимальным значением $d''_{\max}$ + расчет величины	2+4

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Свеотовой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [2-1]OMOA[10-11classes-2020]_Tasks.pdf · решение от архива: [2-2] OMOA[10-11 classes-2020]_Solutions.pdf