Съдържание

Самара 2020, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 3. Блеск космопоезда Starlink

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 10-11 класс

Условие

Условие. 18 марта 2020 года компания Space X запустила новую серию спутников Starlink-5 на промежуточную, почти круговую околоземную орбиту высотой 300 км и наклонением $i = 53^{\circ}$ . В ночь на 20 марта 2020 года 59 спутников данной серии, расположившись цепочкой на данной орбите, на приблизительно одинаковом расстоянии друг от друга, прошли на минимально возможном расстоянии от зенита г. Самары ( $\varphi = 53^{\circ}12'$ ) вблизи местной истинной полуночи. Определите интегральный блеск 59 спутников Starlink-5 в тот момент, когда 30-й спутник прошел через меридиан? В этот момент его звездная величина составила $m_{30} = +3.0^{\mathrm{m}}$ , а блеск остальных спутников равномерно возрастал на одну и туже величину (при переходе между соседними спутниками) в направлении к первому и 59-му спутникам. Блеск последних составил $m_1 = m_{59} = +5.0^{\mathrm{m}}$ . Определите также фазовый угол и зенитное расстояние 30-го спутника в этот момент для жителя Самары?

Отговори

Решение

Решение.

1. Определим изменение (шаг) звездной величины при переходе между соседними спутниками:

\Delta m_0 = \frac{m_1 - m_{30}}{(N - 1)/2} = 0.0690^{\mathrm{m}}. \ \text{(2 балла)} \qquad (10)

Следовательно, звездная величина $(30 \pm i)$ -го спутника составляет

m_{30\pm i} = m_{30} + i\,\Delta m_0.

Воспользуемся формулой Погсона для освещенности, создаваемой $(30 \pm i)$ -м спутником:

\frac{E_{30\pm i}}{E_{30}} = 10^{-0.4(m_{30\pm i} - m_{30})}, \ \Rightarrow\ E_{30\pm i} = E_{30}10^{-0.4\,i\,\Delta m_0}. \ \text{(2 балла)} \qquad (11)

Определим суммарную освещенность, создаваемую всеми ( $N = 59$ ) спутниками у поверхности Земли в указанный момент:

E_{\mathrm{tot}} = E_{30} + \sum_{i=1}^{(N-1)/2}(E_{30-i} + E_{30+i}) = E_{30}\left(1 + 2\cdot 10^{-0.4\,\Delta m_0}\sum_{i=1}^{(N-1)/2}10^{-0.4\,(i-1)\Delta m_0}\right). \ \text{(2 балла)} \qquad (12)

2. Для определения $E_{\mathrm{tot}}$ необходимо вычислить сумму в последнем выражении. Очевидно, что последняя сумма – это сумма $(N - 1)/2$ членов геометрической прогрессии, которую можно вычислить по формуле:

S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{(q - 1)}, \ \text{(2 балла)}

здесь $b_1$ первый член прогрессии, $q$ – фактор прогрессии, $n$ – количество членов прогрессии. В нашем случае имеем

b_1 = 1, \ \ q = 10^{-0.4\,\Delta m_0}, \ \ n = (N - 1)/2. \ \text{(2 балла)} \qquad (13)

В итоге получаем

\begin{aligned} E_{\mathrm{tot}} &= E_{30}\left(1 + 2\cdot 10^{-0.4\,\Delta m_0}\frac{10^{-0.4\,\Delta m_0 (N-1)/2} - 1}{10^{-0.4\,\Delta m_0} - 1}\right) = \\ &= E_{30}\left(1 + 2\cdot 10^{-0.4\,\Delta m_0}\frac{1 - 10^{-0.4\,(m_1 - m_{30})}}{1 - 10^{-0.4\,\Delta m_0}}\right). \end{aligned} \qquad (14)

Определим интегральную звездную величину данной системы спутников:

m_{\mathrm{tot}} = m_{30} - 2.5\lg\left(\frac{E_{\mathrm{tot}}}{E_{30}}\right) = m_{30} - 2.5\lg\left(1 + 2\cdot 10^{-0.4\,\Delta m_0}\frac{1 - 10^{-0.4\,(m_1 - m_{30})}}{1 - 10^{-0.4\,\Delta m_0}}\right) = -0.56^{\mathrm{m}}. \ \text{(2 балла)} \qquad (15)

Серый круг Земли с центром O и экватором Q1Q2; линия орбиты под углом i к экватору проходит через точку E на поверхности; Самара C на широте φC; спутник S над поверхностью, стрелка «Солнечный свет» параллельна экватору; отмечены углы ϕ, z, β. — Рис. 4: к определению зенитного расстояния и фазового угла 30-го спутника.

3. Заметим, что данное событие происходило 20 марта 2020 года – в сутки наступления весеннего равноденствия. В это время солнечный свет распространяется параллельно плоскости земного экватора (1 балл). Поскольку спутники прошли на минимально возможном расстоянии от зенита, то самая высокая точка орбиты спутников была в этот момент в меридиане (1 балл). Фазовый угол 30-го спутника ( $\phi$ ) – угол между направлением на Солнце и на Самару с позиции 30-го спутника. Из рис. 4 очевидно, что данный угол есть

\phi = i - \beta.

Воспользуемся теоремами синусов и косинусов для треугольника $\triangle OCS$ :

\frac{\sin(180^{\circ} - z)}{(\Re_{\oplus} + h)} = \frac{\sin\beta}{\Re_{\oplus}}, \ \Rightarrow\ \sin(180^{\circ} - \beta - (\varphi_C - i)) = \left(1 + \frac{h}{\Re_{\oplus}}\right)\sin\beta. \qquad (16)

\sin\beta\cos(\varphi_C - i) + \cos\beta\sin(\varphi_C - i) = \left(1 + \frac{h}{\Re_{\oplus}}\right)\sin\beta, \ \Rightarrow

\operatorname{ctg}\beta = \frac{1}{\sin(\varphi_C - i)}\left(1 + \frac{h}{\Re_{\oplus}}\right) - \operatorname{ctg}(\varphi_C - i) = 13.49, \ \Rightarrow\ \beta = 4.2^{\circ}. \ \text{(2 балла)} \qquad (17)

В итоге фазовый угол и зенитное расстояние представляются в виде:

\phi = 48.8^{\circ}, \quad \text{(2 балла)} \ \ z = \beta + (\varphi_C - i) = 4.4^{\circ}. \ \text{(2 балла)} \qquad (18)

Ответ: к задаче представляется выражениями (15), (18).

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Определение шага изменения звездной величины спутников	2
Определение освещенности, создаваемой $i$ -м спутником цепочки	2
Корректное выражение для полной освещенности цепочки из 59 спутников	2
Обоснование необходимости использования формулы для суммы $n$ членов геометрической прогрессии	2

Рекомендации для жюри (продолжение).

Выполненная часть решения задачи	Балл
Правильное определение параметров прогрессии в терминах параметров задачи	2
Корректный расчет интегральной звездной величины всех спутников	2
Правильное определение направления распространения солнечного света по отношению к экватору + ориентации орбиты спутников	1+1
Корректный расчет вспомогательного параметра $\beta$	2
Корректный расчет фазового угла + зенитного расстояния 30-го спутника	2+2

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Свеотовой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [2-1]OMOA[10-11classes-2020]_Tasks.pdf · решение от архива: [2-2] OMOA[10-11 classes-2020]_Solutions.pdf