Съдържание

Самара 2020, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 4. Где Луна не восходит сутки?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 10-11 класс

Условие

Определите значения географической широты точек поверхности Земли, где Луна полностью находится за горизонтом, хотя бы в течение одних средних солнечных суток? В расчетах необходимо учесть конечность размеров видимого диска Луны и атмосферную рефракцию. Орбиту Луны считать круговой.

Отговори

Решение

Решение.

1. Согласно условию задачи необходимо, чтобы в течение как минимум, одних средних солнечных суток Луна находилась под горизонтом. Следовательно, даже в верхней кульминации, с учетом рефракции и конечности угловых размеров ее видимого диска видимая высота верхней точки ее диска должна быть меньше нуля (т.е., $h_{\mathrm{up}} < 0$ ) (2 балла).

2. Высота центра видимого диска Луны меньше $h_{\mathrm{up}}$ на величину $\rho_{\text{☾}} = 16'$ углового радиуса Луны. Благодаря явлению рефракции центр видимого диска приподнимается у горизонта на величину $\delta z = 35'$ , следовательно истинная высота центра диска спутника Земли должна быть

h_{\text{☾}} = h_{\mathrm{up}} - \rho_{\text{☾}} - \delta\,z < -\rho_{\text{☾}} - \delta\,z. \ \text{(2 балла)} \qquad (19)

С другой стороны данную высоту в верхней кульминации (к югу от зенита) можно записать так

h_{\text{☾}} = 90^{\circ} - \varphi + \delta_{\text{☾}} < -\rho_{\text{☾}} - \delta\,z, \ \Rightarrow\ \varphi > 90^{\circ} + \delta_{\text{☾}} + \rho_{\text{☾}} + \delta\,z. \ \text{(3 балла)} \qquad (20)

Очевидно, нижняя граница для $\varphi$ определяется минимально возможным значением склонения $\delta_{\text{☾}}$ Луны.

3. Определим последний параметр. Для этого рассмотрим рис. 5.а). Чтобы склонение Луны было минимальным, необходимо чтобы Луна в течение этих суток находилась в окрестности точки зимнего солнцестояния ( $E_W$ ) эклиптики (2 балла), при этом здесь же орбита Луны отстояла от эклиптики на максимальный угол – наклонение орбиты $i_{\text{☾}} = 5^{\circ}09'$ (2 балла).

Пусть $M_1$ и $M_2$ – точки, определяющие положение Луны через одни сутки. Очевидно, эти точки должны располагаться симметрично относительно точки $D$ – самой далекой от экватора точки орбиты Луны южной полусферы (при этом ее склонение $\delta_D = -(\varepsilon + i_{\text{☾}}) = -28^{\circ}35'$ ). Поскольку орбита Луны круговая, то за одни сутки Луна перемещается по орбите на угол

\angle M_1OM_2 = \alpha = \frac{360^{\circ}}{T_{\text{☾}}} = 13.18^{\circ}, \ \text{(2 балла)} \qquad (21)

здесь $T_{\text{☾}}$ – сидерический период обращения Луны. Следовательно, точки $M_1$ и $M_2$ отстоят от точки $D$ на угол $\alpha/2$ . Рассмотрим сферический прямоугольный треугольник $\Delta_S\,WM_1Q$ (см. рис. 5.б). Запишем для него формулу синусов (3 балла):

\sin(\varepsilon + i_{\text{☾}})\cdot\sin\left(90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin|\delta_{\text{☾}}|\cdot\sin 90^{\circ}, \ \Rightarrow\ \sin|\delta_{\text{☾}}| = \sin(\varepsilon + i_{\text{☾}})\cdot\cos\frac{\alpha}{2}, \ \Rightarrow\ \delta_{\text{☾}} = -28^{\circ}23'. \qquad (22)

Во всех точках дуги $M_1\check{D}M_2$ склонение Луны будет еще меньше, и она точно не появится над горизонтом. С использованием (25) и (27) получаем выражение для $\varphi$ :

62^{\circ}28' < \varphi \le 90^{\circ}. \ \text{(2 балла)}

С учетом южного полушария имеем окончательно:

\varphi \in [-90^{\circ}, -62^{\circ}28') \cup (62^{\circ}28', 90^{\circ}]. \ \text{(2 балла)} \qquad (23)

а) Сфера с полюсами эклиптики ΠN и ΠS, эклиптикой через ES, EW, T, узлами ☊ и ☋, орбитой Луны с наклоном i☾, точками M1, M2, D, G1. б) Небесная сфера с зенитом Z, надиром Na, полюсами PN, PS, точками N, S, E, W, небесным экватором (AN, AS, Q), эклиптикой (ES, EW, T), математическим горизонтом, кругом склонений Луны, орбитой Луны; углы ε и i☾, точки D, M1. — Рис. 5: к определению а) взаимного расположения эклиптики и орбиты Луны, б) положения орбиты Луны по отношению к другим большим кругам.

Ответ: к задаче представляется интервалами (28).

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Правильно сформулированные условия для $h_{\mathrm{up}}$ + $h_{\text{☾}}$	2+2
Корректно сформулированное условие для широты местности (в северном полушарии)	3
Правильно указаны условия для положении Луны + ориентации ее орбиты относительно эклиптики	2+2
Определено среднее движение Луны ( $\alpha$ )	2
Корректно рассчитано минимальное значение склонения Луны	3
Правильно определен искомый интервал северных широт (отклонение $\pm 5'$ ) иначе	2 (1) 0
Учет южных широт и определение полного интервала	2

Примечание к архивному источнику. Ссылки на (25), (27) и (28) напечатаны в исходном решении именно так; соответствующие формулы этой задачи имеют номера (20), (22) и (23).

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Свеотовой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая звездная величина – $-26.74^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 356410 км
Максимальное расстояние от Земли – 406700 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [2-1]OMOA[10-11classes-2020]_Tasks.pdf · решение от архива: [2-2] OMOA[10-11 classes-2020]_Solutions.pdf