Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен) · „Бредихин“, 10–11 клас — Задача №12. «Вторжение в Солнечную систему Глизе 710» — уровень «Знаток» (В)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон 2019–2020. Тур №1. 10–11 классы. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивная очередь содержит II, но оба оригинала печатают «Сезон: 2019–2020, Тур №1», Самара, 2020. Сохранены буквальные особенности ключа: знак минус в формуле 8; ссылка задачи 8 на формулу 14 «задачи №8»; положительное 51′ во втором аргументе формулы 16; ссылка на таблицу 1 рядом с таблицей 2; обозначение среднего в формуле 48 и «гелиоцентрическое расстояние» в земной орбите; N₂=6.7·10⁴ в таблице 3 при исходном 6.7·10⁵; буквальная подпись всех четырех панелей рис. 4 и печатный знак доллара в финальном выражении задачи 12. Автор в оригинале — Филатов, в строке верстки — Филиппов. Научные значения не исправлялись. В отдельных исходных диаграммах сохранены примыкающие фрагменты соседнего текста: их прямоугольное удаление обрезало бы собственные обозначения или границы рисунка. Условие задачи 11 печатает d₁>10⁻¹ м, а блок «Дано» решения — d₁≥10⁻¹ м; это различие сохранено.

Сезон 2019–2020. Тур №1. 10–11 классы

Самарский региональный центр для одаренных детей. Самарская областная астрономическая школа. Условия конкурсных задач открытой межрегиональной олимпиады по астрономии им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. СЕЗОН: 2019–2020, ТУР №1. Самара, 2020 г.

Условия. Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень В). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10–11 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. Сезон: 2019–2020, Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 среди обучающихся 10–11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: – Филатов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Справочные данные A.1–A.10, все таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено после условий (стр. 8–15) и повторено после решений (стр. 25–32).

Условие

В 2016 году группой польских ученых было объявлено о прохождении (в будущем) звезды Глизе 710 через Солнечную систему и ее тесном сближении с Солнцем. Ее настоящая видимая звездная величина равна $m=9.66^m$ , лучевая скорость – $V_r=-14.468$ км/с, годичный параллакс – $\pi=52.5185\cdot10^{-3}{}''$ , собственное движение по прямому восхождению – $\mu_\alpha=-0.460\cdot10^{-3}{}''$ /год, по склонению – $\mu_\delta=-0.028\cdot10^{-3}{}''$ /год. Определите минимальное гелиоцентрическое расстояние на которое подойдет звезда к Солнцу. Через какое количество лет это произойдет? Какова будет, при этом, ее звездная величина? Будет ли она видна невооруженным глазом? Чему будут равны, при этом, ее тангенциальная и радиальная скорость? Сколько времени будет пребывать звезда в пределах Солнечной системы и когда она покинет ее, если современное значение радиуса гравитационной границы системы равно 1.87 св. года. Если полагать, что данная звезда породит возмущение в кометном облаке Оорта, то через какой минимальный промежуток времени (после максимального сближения) следует ожидать кометный ливень в окрестности Земли? Как часто такие тесные сближения испытывает Солнечная система? (15 баллов).

Решение

Дано: $V_r=-14.468$ км/с, $\pi=52.5185\cdot10^{-3}{}''$ , $\mu_{\{\alpha,\delta\}}=\{-0.460,-0.028\}\times10^{-3}{}''$ /год, $m=9.66^m$ , $R_{SS}=1.87$ св.лет.

Найти: $r_{\min},\pi^{(0)},t_0,m_{\min}$ – ? $v_\tau^{(0)},v_r^{(0)}$ – ? $\Delta t,\Delta t_r,\Delta t_c$ – ?

Решение: Рассмотрим рис.6, соответствующий условию задачи. Пусть $AB$ – это траектория движения звезды Глизе 710 в окрестности Солнца. Точка $C$ – точка максимального сближения звезды с Солнцем $S$ . Очевидно, что полный вектор скорости звезды можно представить в виде суммы двух векторов: радиальной – $\vec v_r$ и тангенциальной – $\vec v_\tau$ составляющих, причем

v=\sqrt{v_r^2+v_\tau^2}.\qquad (55)

Определим $v_\tau$ , для этого учтем, что данная составляющая скорости отвечает за движение по окружности радиуса $r$ . Следовательно,

v_\tau=\omega\cdot r,\qquad (56)

где $\omega$ – угловая скорость перемещения звезды по небосводу. Ее можно преобразовать к виду: $[v_\tau]=$ км/с; $[\omega]=1/\text{с}$ ; $[r]=$ м. Тогда,

v_\tau=10^{-3}(\text{км/с})\cdot\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}\cdot r=\frac{\Delta\varphi''}{206265''}\cdot\frac1{T\cdot3.156\cdot10^7\text{ с/год}}\cdot x\cdot3.086\cdot10^{13}\text{ км/пк},

v_\tau=4.74\cdot\frac{\mu''}{\pi''}(\text{км/с}).\qquad (57)

Здесь мы учли, что $[\Delta\varphi'']=$ угл.сек., $[T]=$ год, $[x]=$ пк. $\mu''=\Delta\varphi''/T$ – собственное движение звезды, которое можно представить, согласно теореме Пифагора, как

Солнечная система, вся траектория Глизе 710, все точки, расстояния, скорости и углы — Рис. 6: к определению искомых величин.

\mu''=\sqrt{\mu_\alpha^2+\mu_\delta^2}=0.461\cdot10^{-3}{}''/\text{год}.\qquad (58)

Следовательно, тангенциальная скорость равна $v_\tau=0.042$ км/с. Согласно,(55) полная скорость звезды $v=14.468$ км/с. В точке наибольшего сближения (точкаС):

v_\tau^{(0)}=v=14.468\text{ км/с};\quad v_r^{(0)}=0.\qquad (59)

Из рисунка следует, что

\sin\Theta=\frac{r_{\min}}r=\frac{v_\tau}v,\quad\Rightarrow

r_{\min}=r\left(\frac{v_\tau}v\right)=\frac1{\pi''}\left(\frac{v_\tau}v\right)=0.0547\text{ пк}=11290\text{ а.е.},\qquad (60)

\pi^{(0)}=\frac1{r_{\min}}=18.268''.\qquad (61)

m^{(0)}=m-5\lg\left(\frac r{r_{\min}}\right)=m-5\lg\left(\frac{\pi^{(0)}}\pi\right)=-3.05^m.\qquad (62)

Т.о., в наиближайшем положении звезда Глизе 710 будет видна невооруженным глазом и по блеску близка к Марсу в конфигурации великого противостояния. Определим момент времени пребывания звезды в точке $C$ :

t_0=\frac{CB'}v=\frac{\sqrt{r^2-r_{\min}^2}}v=4.061\cdot10^{13}\text{ с}=1.287\text{ млн.лет}.\qquad (63)

Время пребывания в Солнечной системе есть

\Delta t=\frac{A'B'}v=\frac{2\sqrt{R_{ss}^2-r_{\min}^2}}v=1.218\cdot10^{12}\text{ с}=38587\text{ лет}.

Следовательно, звезда Глизе 710 покинет Солнечную систему через

\Delta t_\ell=t_0+\frac{\Delta t}2=1.307\text{ млн.лет}.\qquad (64)

Если звезда вызвала возмущение в кометном облаке Оорта, то часть кометных ядер может быть отброшена в сторону Солнца. Поскольку, скорости ядер много меньше скорости звезды, то первыми прилетят кометы, отброшенные в сторону Солнца в точке $C$ . При движении к Солнцу по сильно вытянутой эллиптической орбите большая полуось последней будет $a_c=r_{\min}/2$ , тогда по третьему закону Кеплера

\left(\frac{a_c}{a_\oplus}\right)^3=\left(\frac{T_c}{T_\oplus}\right)^2,\quad\Rightarrow\quad T_c=T_\oplus\left(\frac{a_c}{a_\oplus}\right)^{3/2},

а время движения к Солнцу (оставшееся время до кометного ливня) есть

t_f=\frac{T_c}2=\frac12T_\oplus\left(\frac{r_{\min}}{2a_\oplus}\right)^{3/2}=2.12\cdot10^5\text{ лет}.\qquad (65)

Среднее время между подобными тесными сближениями Солнечной системы с другими звездами можно оценить по формулам(39),(54) предыдущей задачи:

\bar\tau_* =\frac1{\bar\nu},\quad\bar\nu=\pi n_*r_{\min}^2V_r.\qquad (66)

Согласно замечанию к решению задачи № 5 настоящего релиза концентрация звезд в окрестности Солнца составляет $n_*=0.13$ звезд/пк³. При этом средняя относительная скорость этих звезд составляет $\bar V_r=20$ км/с. В итоге, одно такое тесное сближение звезды с Солнечной системой происходит1раз в $\bar\tau_*=40$ млн.лет.

Ответ: к задаче представлен выражениями (55)–(66); будет видна невооруженным глазом, $\bar\tau_*=40$ млн.лет. $(\text{\textdollar}_{\max}=15\text{ баллов})$ .

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2020-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2020-2]_10-11 classes.pdf