Самара 2020, I кръг (задочен) · „Бредихин“, 10–11 клас — Задача №11. «Проблема космического мусора – угроза для МКС» — уровень «Знаток» (В)

Дано: $N_1=2.9\cdot10^4$, $d_1\ge10^{-1}$ м, $N_2=6.7\cdot10^5$, $d_2\ge10^{-2}$ м, $N_3=1.7\cdot10^7$, $d_3\ge10^{-3}$ м, $H=2000$ км, $S=100$ м², $h=415$ км.

Найти: $\nu_{\{1,2,3\}}$ – ? $\nu'_{\{1,2,3\}},N$ – ?

Решение: Рассмотрим столкновение двух обломков, движущихся в околоземном пространстве со скоростями $\vec V_1$ и $\vec V_2$ соответственно. Обломки будем моделировать шарами с диаметрами $D_1$ и $D_2$ соответственно. Перейдем в систему отсчета, связанную с первым обломком, тогда второй обломок будет иметь скорость $\vec V_r=\vec V_2-\vec V_1$.

Столкновение обломков произойдет, если линия, вдоль которой направлена $\vec V_r$ будет прокалывать площадку диаметром $D=D_1+D_2$, центр которой совпадает с центром первого обломка-шара (см.рис.5). Предположим, что концентрация обломков с диаметром $D_2$ (второго сорта) в околоземном пространстве постоянна и равна $n_2$. Тогда количество столкновений обломка первого сорта (с диаметром $D_1$) с обломками сорта2 за время $\Delta t$ есть

$V_{\text{ц}}$ – объем цилиндра, ось которого проходит через центр обломка1 и совпадает с направлением его скорости, а диаметр цилиндра равен $D$. Тогда его объем можно записать так

Из (37) и (38) следует явное выражение для среднего значения частоты столкновения обломка сорта1 с обломками сорта2.

Определим концентрацию осколков сорта2. Будем полагать, что они расположены равномерно внутри области околоземного пространства имеющей форму сферического слоя, центр которого совпадает с центром Земли, а радиусы равны соответственно.

здесь $h_{\min}=180$ км – минимальная высота орбиты искусственного спутника Земли. Если полагать, что $N_2$ – это общее количество обломков сорта2, то искомую концентрацию можно записать так

В общем случае квадрат относительной скорости обломков можно записать так

Усредним полученный результат по возможным значениям и направлениям скоростей $V_1V_2$:

В общем случае, данные осколки движутся в околоземном пространстве по эллиптическим орбитам, квадраты геоцентрических скоростей которых могут быть записаны как функции геоцентрического состояния $r$:

Поскольку гелиоцентрическое расстояние меняется в пределах

то среднее геоцентрическое расстояние равно $\langle r\rangle=a$. Следовательно

Угол $\alpha$ между векторами $V_1$ и $V_2$ может изменяться в пределах

то последнее слагаемое в(43), очевидно, будет равно нулю. Следовательно

Далее, в качестве значения относительной скорости, будем принимать значение

Следовательно, частоту столкновений $\vec\nu$ окончательно можно записать так

Общее число столкновений всех частиц одного сорта2 между собой за единицу времени можно записать как

здесь $\langle a_2\rangle$ – среднее значение большой полуоси эллипса обломка сорта2. Учитывая, что

Пояснение: $\nu_{\text{МКС}}$ – частота столкновения с МКС частиц $i$-ого сорта с минимальным диаметром, $\tau_1$ – среднее время между столкновениями МКС с частицами $i$-ого сорта, $K$ – частота столкновений частиц $i$-ого сорта между собой, $\tau_2$ – среднее время между столкновениями частиц $i$-ого сорта. В качестве диаметра для МКС принималась величина $D_{\text{МКС}}=\sqrt S=10$ м.

то в качестве $\langle a_2\rangle$ будем принимать решение

Общее число столкновений всех частиц сорта2 окончательно запишется так

Определим также промежутки времени, приходящиеся на одно столкновение рассматриваемых обломков

Выполним численный анализ полученных результатов. В таблице3 представлены численные значения искомых величин. Очевидно, что в случае малых частиц сорта3 столкновение с МКС происходят1раз в2.8года. В то время как с крупными обломками сорта1 одно столкновение происходит в1647лет. Между собой малые частицы сорта3 сталкиваются1раз в8.6лет, а крупные –1раз в297лет.

Ответ: к задаче представлен в таблице3. (14 баллов).