Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен) · „Бредихин“, 10–11 клас — Задача №9. «В одной из миссий будущего» — уровень «Знаток» (В)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон 2019–2020. Тур №1. 10–11 классы. · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивная очередь содержит II, но оба оригинала печатают «Сезон: 2019–2020, Тур №1», Самара, 2020. Сохранены буквальные особенности ключа: знак минус в формуле 8; ссылка задачи 8 на формулу 14 «задачи №8»; положительное 51′ во втором аргументе формулы 16; ссылка на таблицу 1 рядом с таблицей 2; обозначение среднего в формуле 48 и «гелиоцентрическое расстояние» в земной орбите; N₂=6.7·10⁴ в таблице 3 при исходном 6.7·10⁵; буквальная подпись всех четырех панелей рис. 4 и печатный знак доллара в финальном выражении задачи 12. Автор в оригинале — Филатов, в строке верстки — Филиппов. Научные значения не исправлялись. В отдельных исходных диаграммах сохранены примыкающие фрагменты соседнего текста: их прямоугольное удаление обрезало бы собственные обозначения или границы рисунка. Условие задачи 11 печатает d₁>10⁻¹ м, а блок «Дано» решения — d₁≥10⁻¹ м; это различие сохранено.

Сезон 2019–2020. Тур №1. 10–11 классы

Самарский региональный центр для одаренных детей. Самарская областная астрономическая школа. Условия конкурсных задач открытой межрегиональной олимпиады по астрономии им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. СЕЗОН: 2019–2020, ТУР №1. Самара, 2020 г.

Условия. Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень В). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10–11 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. Сезон: 2019–2020, Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Автор и памятка участника

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 среди обучающихся 10–11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: – Филатов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Справочные данные A.1–A.10, все таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено после условий (стр. 8–15) и повторено после решений (стр. 25–32).

Условие

Давайте немного помечтаем. Предположим, что Вы попали в будущее и Вам довелось наблюдать (с Земли) за космическим аппаратом (КА), бороздящим окрестности самой большой планеты Солнечной системы – Юпитера. Изначально КА двигался по круговой орбите, радиус которой равен большой полуоси орбиты Ио. Необходимо перевести КА на более высокую орбиту для изучения других галилеевых спутников по траектории Гомана-Цандера-Ветчинкина. Полная масса модуля $M_{tot}=2$ т, масса полезной нагрузки – $m_0=100$ кг, остальная масса приходится на топливо. Переход с одной орбиты на другую достигается за счет работы ракетных двигателей, выбрасывающих топливо относительно КА со скоростью $u=2.8$ км/с. Определите, какие галилеевы спутники, помимо Ио, аппарат сможет изучить, пребывая в их малой окрестности? (14 баллов).

Решение

Дано: $m_0=100$ кг, $M_{tot}=2\cdot10^3$ кг, $u=2.8$ км/с.

Найти: Галилеевы спутники – ?

Решение: Как известно, орбита Гомана-Цандера-Ветчинкина есть эллипс перицентр которого находится на исходной орбите $(q=a_1)$ , а апоцентр – на конечной орбите $(Q=a_2)$ .

При этом большая полуось и эксцентриситет этого эллипса есть

a=\frac{a_1+a_2}2,\quad\varepsilon=\frac{a_2-a_1}{a_2+a_1}.\qquad (19)

Последняя формула получается из условия равенства расстояний до перицентра $q$ и радиуса орбиты $(a_1)$ :

q=a_1=a(1-\varepsilon),\quad\Rightarrow\quad\varepsilon=1-\frac qa=1-\frac{2a_1}{a_1+a_2}.

Исходная скорость КА на круговой орбите есть

V_1=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}{a_1}},\qquad (20)

здесь $G$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak M_J$ – масса Юпитера, $a_1$ – радиус исходной орбиты. Для перехода на орбиту Гомана-Цандера-Ветчинкина КА необходимо приобрести скорость

V_q=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}a\left(\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right)}=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}q(1+\varepsilon)}=

=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}{a_1}\frac{2a_2}{(a_1+a_2)}}=V_1\sqrt{\frac{2a_2}{(a_1+a_2)}}.\qquad (21)

Следовательно, изменение скорости КА в перицентре должно быть

\Delta V_1=V_q-V_1=V_1\left(\sqrt{\frac{2a_2}{(a_1+a_2)}}-1\right).\qquad (22)

При достижении апоцентра орбиты, скорость КА есть

V_Q=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}a\left(\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)}=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}{a_2}\left(\frac{2a_1}{a_1+a_2}\right)}=V_2\sqrt{\frac{2a_1}{(a_1+a_2)}},\qquad (23)

где $V_2$ – орбитальная скорость КА на конечной круговой орбите, представляемая формулой

V_2=\sqrt{\frac{G\mathfrak M_J}{a_2}}.\qquad (24)

Тогда изменение скорости КА в апоцентре есть

\Delta V_2=V_2-V_Q=V_2\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{(a_1+a_2)}}\right).\qquad (25)

Предположим, далее что КА движется со скоростью $V$ и имеет массу $m$ и за малый промежуток времени $dt$ он выпускает топливо массы $dm$ , в направлении, противоположном направлению движения КА. Запишем закон сохранения импульса для замкнутой системы "КА – порция выпущенного топлива", в проекциях на первоначальную скорость движения аппарата:

mV=(m-dm)(V+dV)+dm(V-u),\qquad (26)

здесь $u$ – скорость истечения топлива относительно КА (является постоянной величиной). Из (26) следует, что

dm\,u=m\,dV,\quad\Rightarrow\quad dV=u\frac{dm}m.

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение

\int_{V_1}^{V_2}dV=-u\int_{m_1}^{m_2}\frac{dm'}{m'},\quad\Rightarrow\quad V_2-V_1=u\cdot\ln\left(\frac{m_1}{m_2}\right),\qquad (27)

здесь мы учли, что масса топлива $dm$ равна приращению массы корабля $-dm'$ ; $m_1,m_2$ – начальная и конечная массы корабля, $V_1,V_2$ – начальная и конечная скорости корабля. Из (27) следует, что

\frac{m_2}{m_1}=e^{-\frac{\Delta V}u},\quad\text{где }\Delta V=V_2-V_1.\qquad (28)

В случае полного исчерпания топлива: $m_2=m_0,m_1=M_{tot}$ , тогда

\frac{m_2}{m_1}=e^{-\frac{\Delta V_1+\Delta V_2}u}\ge\frac{m_0}{M_{tot}},\quad\Rightarrow\quad\Delta V_1+\Delta V_2\le u\cdot\ln\left(\frac{M_{tot}}{m_0}\right),

V_1\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1+\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right)\right)\le u\cdot\ln\left(\frac{M_{tot}}{m_0}\right).

Пусть $x=a_2/a_1$ , тогда

V_1\left(\sqrt{\frac{2x}{1+x}}-1+\frac1{\sqrt x}-\frac{\sqrt2}{\sqrt{x(1+x)}}\right)\le u\cdot\ln\left(\frac{M_{tot}}{m_0}\right).\qquad (29)

Пусть

f(x)=\left(\sqrt{\frac{2x}{1+x}}-1+\frac1{\sqrt x}-\sqrt{\frac2{x(1+x)}}\right),\quad A=\left(\frac u{V_1}\right)\ln\left(\frac{M_{tot}}{m_0}\right).\qquad (30)

Все три галилеевых спутника, исходные x, f(x) и общая ячейка A=0.484 — Таблица 2: численные значения параметров x, A и функции f(x), в случае трех галилеевых спутников.

Спутник	$x$	$f(x)$	$A$
Европа	1.591	0.204	0.484
Ганимед	2.538	0.354	0.484
Каллисто	4.464	0.465	0.484

Тогда, условие(29) можно переписать в виде:

f(x)\le A.\qquad (31)

Выполним количественный анализ параметров $x,A$ и функции $f(x)$ в случае перелетов к Европе, Ганимеду и Каллисто. Численные значения представлены в таблице1.

Очевидно, условие(31) выполняется в случае всех выше расположенных галилеевых спутников. Значит аппарат сможет изучить все спутники.

Ответ: КА сможет изучить все галилеевы спутники. (14 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2020-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2020-2]_10-11 classes.pdf