Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен), 7–9 клас — Задача 12. Астрономическая единица и большая полуось земной орбиты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

ОМОА им. Ф.А. Бредихина — тур №1, 7–9 классы · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивный каталог и стабильный ID называют этот пакет II этапом; собственная обложка, заголовки условий и авторского ключа явно печатают тур №1 сезона2019–2020. Сохранены12 независимых целых задач двух уровней и полный соответствующий авторский ключ. Общая сумма баллов и длительность не напечатаны: баллы отдельных задач сохранены, общая сумма не выдумана. Общий восьмистраничный справочный раздел представлен полностью исходными изображениями; повтор этого раздела в ключе прочитан и сохранен в полном оригинальном PDF. Декоративные рисунки разделителей и обложки не являются научными ресурсами.

В условии задачи5 напечатано «межу»; в повторе условия авторского ключа — «между». Оба исходных варианта отмечены без скрытого исправления.

Задача10 дает G=6.673×10⁻¹¹ Н·м²/кг², а общая таблица А.1 — 6.674×10⁻¹¹; сохранены оба значения с исходной областью применения.

В авторской формуле(64) задачи12 перед1.315×10⁹ кг/с не напечатан знак отношения; исходная запись сохранена. Условие просит календарный год, а ключ печатает время1.1522×10⁷ лет назад; отсутствующий календарный ответ не придуман.

Сохранены исходные формулировки ключа, включая «мощность получения Хокинга» и слова перигей/афелий в задаче11.

В ключе задачи6 исходно напечатано «плосковатости» и «плосковатую»; эти слова сохранены буквально.

Обложка и уровни оригинала

Самарский региональный центр для одаренных детей

Самарская областная астрономическая школа

Открытая межрегиональная олимпиада по астрономии им. Ф.А. Бредихина

7–9 классы

Сезон: 2019–2020

Тур №1

Самара, 2020 г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

Общие указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности — «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7–9 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

«Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 7-9 классов. Сезон: 2019-2020, Тур №1». — https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs

или

https://vk.com/doc-57032141_451699934

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Выходные данные авторского ключа (К2):

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 среди обучающихся7–9классов. Тур №1».

Составитель: — Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX — Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна: https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

В памятке ключа дополнительная ссылка на руководство указана как https://vk.com/bredikhinolimp ; в условиях напечатана отдельная ссылка на документ, приведенная выше.

Полные исходные справочные данные

Полные исходные справочные данные, страница10.

Полные исходные справочные данные, страница11.

Полные исходные справочные данные, страница12.

Полные исходные справочные данные, страница13.

Полные исходные справочные данные, страница14.

Полные исходные справочные данные, страница15.

Полные исходные справочные данные, страница16.

Полные исходные справочные данные, страница17.

Условие

До 2012 года под астрономической единицей традиционно принималось среднее расстояние от Земли до Солнца, равное сегодня $a_\oplus=1.00000101778$ а.е. С 2012 года и по настоящее время в качестве астрономической единицы принимается расстояние, равное $1$ а.е. $=149597870700$ м. Как известно, расстояние между Солнцем и Землей необратимо увеличивается из-за массовых потерь центрального светила. Определите год, в который среднее расстояние между данными телами было равным (с точностью до метра) одной $1$ а.е. В расчетах необходимо учесть следующие виды массовых потерь: 1) потери, обусловленные электромагнитным излучением, 2) потери, обусловленные солнечным ветром (основные характеристики солнечного ветра см. в таб. 1).

Таблица 1. Основные количественные характеристики солнечного ветра.

Величина	Значение
Средняя скорость $\overline V$ , км/с	400
$n_p$ , ×10⁶ м⁻³	6.0
$\eta_p$	0.96
$\eta_\alpha$	0.04

Здесь $n_p$ — средняя концентрация протонов, $\overline V$ — средняя скорость солнечного ветра на орбите Земли, $\eta_{\{p,\alpha\}}$ — мольные доли протонов и альфа-частиц (основных носителей массы).

Решение

Прежде всего определим текущее значение большой полуоси земной полуоси в метрах

a_\oplus=149598022958\ \text{м}.\qquad (51)

Определим на сколько большая полуось земной орбиты больше 1 а.е.

\Delta a=a_\oplus-1\ \text{а.е.}=152258\ \text{м}.\qquad (52)

Рассмотрим далее движение Земли по круговой орбите. Запишем для нее второй закон Ньютона.

\frac{M_\oplus V_\oplus^2}{a_\oplus}=\frac{GM_\oplus M_\odot}{a_\oplus^2}\quad\Rightarrow\quad V_\oplus^2=\frac{GM_\odot}{a_\oplus}.\qquad (53)

Далее учтем, что согласно второму закону Кеплера, за равные промежутки времени гелиоцентрический радиус-вектор Земли описывает равные площади, т.е. согласно рис. 8

\frac{\Delta S}{\Delta t}=C_0\quad\text{или}\quad\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{\frac12r_1\cdot r_2\sin\Delta\alpha}{\Delta t}\approx\frac12r^2\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}=\frac12r\cdot V=C_0,\qquad (54)

здесь учтено, что $r_1\approx r_2\approx r$ , $\Delta\alpha/\Delta t=\omega$ , $V=\omega\cdot r$ — гелиоцентрическая скорость Земли; $C_0$ — некоторая компонента. Из (54) следует, что

V=\frac{2C_0}{r}.\qquad (55)

Подставим (55) в (53), получаем

\frac{4C_0^2}{a_\oplus^2}=\frac{GM_\odot}{a_\oplus}\quad\Rightarrow\quad a_\oplus=\frac{4C_0^2}{GM_\odot}.\qquad (56)

Запишем выражение (56) для двух близких моментов времени:

t:\ a_\oplus=\frac{4C_0^2}{GM_\odot};\qquad t+\Delta t:\ a_\oplus+\Delta a_\oplus=\frac{4C_0^2}{G(M_\odot-\Delta M_\odot)}.

Вычтем из второго уравнения первое, тогда получим

\Delta a_\oplus=\frac{4C_0^2}{G}\frac{\Delta M_\odot}{(M_\odot-\Delta M_\odot)M_\odot}\approx\frac{4C_0^2}{GM_\odot^2}\Delta M_\odot,\quad\text{или}

\Delta a_\oplus=a_\oplus\left(\frac{\Delta M_\odot}{M_\odot}\right).\qquad (57)

Т.о., увеличение большой полуоси земной орбиты прямо пропорционально изменению массы Солнца.

Далее найдем закон изменения массы Солнца за счет указанных в условии эффектов. Очевидно, что за время $\Delta t$ изменение массы Солнца есть

\Delta M_\odot=\Delta M_\odot^{(EM)}+\Delta M_\odot^{(SW)},\qquad (58)

здесь $\Delta M_\odot^{(EM)}$ — массовые потери Солнца, обусловленные его электромагнитным излучением, $\Delta M_\odot^{(SW)}$ — массовые потери Солнца, обусловленные истечением солнечного ветра. Для определения первого слагаемого воспользуемся формулой Эйнштейна

\Delta E^{(EM)}=\Delta M_\odot^{(EM)}\cdot c^2.

Разделим ее на промежуток времени $\Delta t$ и учтем что $L_\odot=\Delta E^{(EM)}/\Delta t$ — светимость Солнца.

L_\odot=\frac{\Delta M_\odot^{(EM)}}{\Delta t}\cdot c^2\quad\Rightarrow\quad\frac{\Delta M_\odot^{(EM)}}{\Delta t}=\frac{L_\odot}{c^2}=4.252\cdot10^9\ \text{кг}/\text{с}.\qquad (59)

Вычислим потери $\Delta M_\odot^{(SW)}$ :

\Delta M_\odot^{(SW)}=m_p\Delta N_p+m_\alpha\Delta N_\alpha,\qquad (60)

здесь $m_p,m_\alpha$ — массы протона и $\alpha$ -частицы; $\Delta N_p,\Delta N_\alpha$ — количества протонов и $\alpha$ -частиц, покинувших Солнце за время $\Delta t$ . Поскольку поток солнечного ветра стационарный, то далее будем рассматривать его на орбите Земли. За время $\Delta t$ через сферу радиуса $a_\oplus$ (и площадью $S=4\pi a_\oplus^2$ ) проходит количества $\Delta N_p$ протонов, и $\Delta N_\alpha$ — альфа-частиц, который можно записать так

\Delta N_p=n_p\cdot\Delta V=n_p\cdot S\cdot V\cdot\Delta t,\quad\Delta N_\alpha=n_\alpha\cdot S\cdot V\cdot\Delta t.\qquad (61)

Учтем далее, что

\eta_p=\frac{\nu_p}{\nu_p+\nu_\alpha}=\frac{\Delta N_p}{\Delta N_p+\Delta N_\alpha}=\frac{n_p}{n_p+n_\alpha},\quad\eta_\alpha=\frac{n_\alpha}{n_p+n_\alpha},\qquad (62)

здесь $\nu_p,\nu_\alpha$ — мольные количества протонов и $\alpha$ -частиц; $n_p,n_\alpha$ — их объемные концентрации. Из (62) следует, что

\frac{\eta_p}{\eta_\alpha}=\frac{n_p}{n_\alpha}\quad\Rightarrow\quad n_\alpha=\frac{\eta_\alpha}{\eta_p}\cdot n_p,\qquad (63)

тогда (60) можно переписать так

\frac{\Delta M_\odot^{(SW)}}{\Delta t}=m_pn_pSV+m_\alpha\frac{\eta_\alpha}{\eta_p}n_pSV=

4\pi a_\oplus^2V\left(m_p+\frac{\eta_\alpha}{\eta_p}m_\alpha\right)n_p\quad1.315\cdot10^9\ \text{кг}/\text{с}.\qquad (64)

В оригинале (64) перед числом $1.315\cdot10^9$ знак отношения не напечатан; исходная запись сохранена.

Следовательно, полный поток массовых потерь Солнца есть

\frac{\Delta M_\odot}{\Delta t}=5.567\cdot10^9\ \text{кг}/\text{с}.\qquad (65)

Тогда скорость изменения радиуса земной орбиты есть

V_a=\frac{\Delta a_\oplus}{\Delta t}=\frac{a_\oplus}{M_\odot}\left(\frac{\Delta M_\odot}{\Delta t}\right)=4.19\cdot10^{-10}\ \text{м}/\text{с}=0.013\ \text{м}/\text{год}.\qquad (66)

Следовательно, 1 а.е. и $a_\oplus$ были равны

\tau=\frac{\Delta a}{V_a}=1.1522\cdot10^7\ \text{лет тому назад}.\qquad (67)

Ответ: к задаче представлен формулой (67). (15 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2020-2]_7-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2020-2]_7-9 classes.pdf