Съдържание

Самара 2020, I кръг (задочен), 7–9 клас — Задача 11. Вывод ИСЗ на геосинхронную орбиту

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2020

ОМОА им. Ф.А. Бредихина — тур №1, 7–9 классы · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Архивный каталог и стабильный ID называют этот пакет II этапом; собственная обложка, заголовки условий и авторского ключа явно печатают тур №1 сезона2019–2020. Сохранены12 независимых целых задач двух уровней и полный соответствующий авторский ключ. Общая сумма баллов и длительность не напечатаны: баллы отдельных задач сохранены, общая сумма не выдумана. Общий восьмистраничный справочный раздел представлен полностью исходными изображениями; повтор этого раздела в ключе прочитан и сохранен в полном оригинальном PDF. Декоративные рисунки разделителей и обложки не являются научными ресурсами.

В условии задачи5 напечатано «межу»; в повторе условия авторского ключа — «между». Оба исходных варианта отмечены без скрытого исправления.

Задача10 дает G=6.673×10⁻¹¹ Н·м²/кг², а общая таблица А.1 — 6.674×10⁻¹¹; сохранены оба значения с исходной областью применения.

В авторской формуле(64) задачи12 перед1.315×10⁹ кг/с не напечатан знак отношения; исходная запись сохранена. Условие просит календарный год, а ключ печатает время1.1522×10⁷ лет назад; отсутствующий календарный ответ не придуман.

Сохранены исходные формулировки ключа, включая «мощность получения Хокинга» и слова перигей/афелий в задаче11.

В ключе задачи6 исходно напечатано «плосковатости» и «плосковатую»; эти слова сохранены буквально.

Обложка и уровни оригинала

Самарский региональный центр для одаренных детей

Самарская областная астрономическая школа

Открытая межрегиональная олимпиада по астрономии им. Ф.А. Бредихина

7–9 классы

Сезон: 2019–2020

Тур №1

Самара, 2020 г.

А. Уровень «Новичок»: задачи1–6.

B. Уровень «Знаток»: задачи7–12.

Общие указания и авторство ключа

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности — «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 7–9 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

«Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 7-9 классов. Сезон: 2019-2020, Тур №1». — https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.02.2020–31.03.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs

или

https://vk.com/doc-57032141_451699934

Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Выходные данные авторского ключа (К2):

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020 среди обучающихся7–9классов. Тур №1».

Составитель: — Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СДДЮТ, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX — Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна: https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

В памятке ключа дополнительная ссылка на руководство указана как https://vk.com/bredikhinolimp ; в условиях напечатана отдельная ссылка на документ, приведенная выше.

Полные исходные справочные данные

Полные исходные справочные данные, страница10.

Полные исходные справочные данные, страница11.

Полные исходные справочные данные, страница12.

Полные исходные справочные данные, страница13.

Полные исходные справочные данные, страница14.

Полные исходные справочные данные, страница15.

Полные исходные справочные данные, страница16.

Полные исходные справочные данные, страница17.

Условие

С Международной космической станции (МКС) необходимо вывести на геосинхронную орбиту (лежащую в плоскости орбиты МКС) искусственный спутник Земли (ИСЗ) по траектории Гомана-Цандера-Ветчинкина. Вектор начальной скорости ИСЗ лежит в плоскости орбиты МКС и сонаправлен с вектором орбитальной скорости последней. Определите время перелета корабля, приращение скорости ИСЗ в стартовой точке и при достижении геосинхронной орбиты. Следует учесть, что высота орбиты МКС составляет $h=414$ км.

Решение

Дано: $h=414$ км. Найти: $t_f$ , $\Delta V_i,\Delta V_f$ .

Геосинхронной орбитой ИСЗ называется круговая орбита спутника, которая может быть расположена под любым углом к плоскости земного экватора, период обращения по которой равен сидерическому периоду вращения Земли вокруг своей оси. Найдем ее радиус. Для этого воспользуемся третьим законом Кеплера:

\left(\frac{R_c}{R_\oplus}\right)^3=\left(\frac{T_\oplus}{T_{\rm I}}\right)^2\quad\Rightarrow\quad R_c=R_\oplus\left(\frac{T_\oplus}{T_{\rm I}}\right)^{2/3}=42169\ \text{км},\qquad (41)

здесь $R_c$ — радиус синхронной орбиты; $T_\oplus$ — сидерический период вращения Земли (звездные сутки); $R_\oplus$ — радиус Земли; $T_{\rm I}$ — период обращения ИСЗ движущегося по круговой орбите радиуса $R_\oplus$ , у поверхности Земли, с первой космической скоростью $V_{\rm I}=7.911$ км/с. Тогда

T_{\rm I}=\frac{2\pi R_\oplus}{V_{\rm I}}=5060\ \text{с}.\qquad (42)

При перелете по орбите Гомана-Цандера-Ветчинкина с орбиты МКС на орбиту синхронную, точка старта будет перигеем данной эллиптической орбиты, а конечная — апогеем. Тогда большая полуось этой орбиты есть

a=\frac{R_\oplus+h+R_c}{2}=24477\ \text{км},\qquad (43)

а эксцентриситет можно выразить из формулы для перигея:

q=R_\oplus+h=a(1-\varepsilon)\quad\Rightarrow\quad\varepsilon=1-\frac{R_\oplus+h}{a}=0.723.\qquad (44)

Тогда скорость в перигелии должна быть

V_q=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a}\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_\oplus+h}\left(2-\frac{R_\oplus+h}{a}\right)}=

=V_{\text{МКС}}\sqrt{2-\frac{R_\oplus+h}{a}}=V_{\rm I}\sqrt{\left(\frac{R_\oplus}{R_\oplus+h}\right)\left(2-\frac{R_\oplus+h}{a}\right)}=10.062\ \text{км}/\text{с}.\qquad (45)

Тогда приращение скорости в перигелии есть

\Delta V_i=V_q-V_{\text{МКС}}=V_{\text{МКС}}\left(\sqrt{2-\frac{R_\oplus+h}{a}}-1\right)=2.40\ \text{км}/\text{с}.\qquad (46)

Скорость ИСЗ в афелии

V_Q=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a}\left(\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_c}\left(\frac{R_\oplus+h}{a}\right)}=V_c\sqrt{\frac{R_\oplus+h}{a}},\qquad (47)

здесь $V_c$ — скорость ИСЗ на геосинхронной орбите, тогда приращение скорости в апогее есть

\Delta V_f=V_c-V_Q=V_c\left(1-\sqrt{\frac{R_\oplus+h}{a}}\right)=1.46\ \text{км}/\text{с}.\qquad (48)

В выражениях (46) и (48) учтено, что

V_{\text{МКС}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_\oplus+h}},\quad V_c=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_c}}.\qquad (49)

Время перелета можно вычислить так

t_f=\frac12T_0=\frac12T_{\rm I}\left(\frac a{R_\oplus}\right)^{3/2}=1.905\cdot10^4\ \text{с}=5.29\ \text{часа}.\qquad (50)

Ответ: к задаче представлен выражениями (46), (48), (50). (14 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2020-2]_7-9 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2020-2]_7-9 classes.pdf