Съдържание

Самара 2021, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача №12. «Если бы у Венеры был спутник...» · Уровень «Знаток» (уровень B)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон 2020–2021. Тур №1. 10–11 классы. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Титульные листы печатают «Сезон 2020–2021», «Тур №1», «Самара 2020 г.»; заголовки условий содержат 2020, а решений – 2021. Сохранены печатные ошибки решений: 1981 в описании введения календаря в 1918 году; знаменатель формулы15; пропущенный аргумент sin в формуле21; несоответствующая графику подпись рис.9; оба случая и противоречивый окончательный ответ задачи10. В ссылке на автора сохранено напечатанное «Филатов», в отдельной строке верстки – «Филиппов». Печатный текст и численные значения не исправлялись.

Сезон 2020–2021. Тур №1. 10–11 классы

Самарский региональный центр для одаренных детей. Самарская областная астрономическая школа. Открытая многоэтапная олимпиада по астрономии имени Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. СЕЗОН 2020–2021. ТУР №1. Самара 2020 г.

Условия. Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень В). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10–11 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. Сезон: 2020–2021, Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.10.2020–30.11.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Ссылка, автор и памятка участника

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10–11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: – Филатов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №1 на проверку: 15.10.2020–30.11.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Справочные данные A.1–A.10, все таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено после условий (стр.8–15) и повторено после решений (стр.33–40).

Условие

Как известно, многие астрономы XVII-XVIII вв неоднократно объявляли об открытии у Венеры спутников. В настоящее время установлено, что естественные спутники у Венеры отсутствуют. Давайте предположим обратное, – Венера обладает спутником. Определите, на каком минимальном расстоянии должен располагаться естественный спутник Венеры, подобный Луне, чтобы его можно было разрешить вместе с материнской планетой невооруженным глазом с поверхности Земли, в момент наибольшей элонгации. Чему был бы равен минимальный радиус спутника, если полагать, что его альбедо равно альбедо Луны? Если полагать что средняя массовая плотность спутника, такая же как у Луны, то чему будет равна его масса? Чему был бы равен период обращения такого спутника вокруг Венеры? Проверьте, может ли в принципе Венера иметь на такой орбите спутник? Разрешающую способность человеческого глаза принять равной $3'$ , а его проницающую силу – $+6^m$ . Орбиты всех рассматриваемых классических планет считать эллиптическими, а спутника – круговой. (15 баллов).

Решение

Дано: $\beta_y=3'$ , $m_{\max}=+6^m$ .

Найти: $r_s^{\min}$ , $\mathfrak R_s^{(\min)}$ – ? $\mathfrak M_s$ , $T_s$ – ?

Решение:

Прежде всего заметим, что в момент наибольшей элонгации Венеры, последняя вместе с Землей и Солнцем образует прямоугольный треугольник, прямой угол которого должен лежать при Венере. Пусть $r_\oplus$ , $r_{\text{♀}}$ – гелиоцентрические расстояния Земли и Венеры на указанный момент, а $\Delta_{\text{♀}}$ – геоцентрическое расстояние Венеры. Тогда последний параметр можно представить в виде:

\Delta_{\text{♀}}=\sqrt{r_\oplus^2-r_{\text{♀}}^2}.\qquad (68)

С учетом того, что интервалы допустимых значений (ИДЗ) для величин $r_\oplus$ , $r_{\text{♀}}$ есть

a_{\text{♀}}(1-\varepsilon_{\text{♀}})\le r_{\text{♀}}\le a_{\text{♀}}(1+\varepsilon_{\text{♀}}),\quad\Rightarrow0.7184\text{ а.е.}\le r_{\text{♀}}\le0.7282\text{ а.е.},\qquad (69)

a_\oplus(1-\varepsilon_\oplus)\le r_\oplus\le a_\oplus(1+\varepsilon_\oplus),\quad\Rightarrow0.9833\text{ а.е.}\le r_\oplus\le1.0167\text{ а.е.},\qquad (70)

здесь $a_\oplus$ , $\varepsilon_\oplus$ – большая полуось и эксцентриситет земной орбиты, $a_{\text{♀}}$ , $\varepsilon_{\text{♀}}$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты Венеры.

Тогда возможные геоцентрические расстояния принадлежат интервалу:

\begin{aligned} \sqrt{(r_\oplus^{\min})^2-(r_{\text{♀}}^{(\max)})^2}&\le\Delta_{\text{♀}}\le\sqrt{(r_\oplus^{\max})^2-(r_{\text{♀}}^{(\min)})^2},\quad\Rightarrow\\ 0.6608\text{ а.е.}&\le\Delta_{\text{♀}}\le0.7194\text{ а.е.} \end{aligned}\qquad (71)

Минимальный радиус орбиты спутника Венеры и его ИДЗ есть

r_s^{\min}=\Delta_{\text{♀}}\left(\frac{\beta_y}{3438'}\right),\quad\Rightarrow86260\text{ км}\le r_s^{\min}\le93910\text{ км.}\qquad (72)

Для определения минимального радиуса спутника Венеры учтем, что его звездная величина в наибольшей элонгации этой планеты должна быть не больше $m_{\max}$ . В предельном случае имеем

\begin{aligned} m_{\max}-m_\odot&=-2.5\lg\left(\frac{E_{\min}}{f_\odot}\right),\quad\Rightarrow\\ E_{\min}&=f_\odot10^{-0.4(m_{\max}-m_\odot)}=1.03\cdot10^{-10}\text{ Вт/м}^2, \end{aligned}\qquad (73)

здесь $f_\odot=L_\odot/(4\pi a_\oplus^2)=1361$ Вт/м² – солнечная постоянная, $L_\odot$ – светимость Солнца, $m_\odot=-26.80^m$ – видимая болометрическая звездная величина Солнца; $E_{\min}$ – освещенность у поверхности Земли (без учета атмосферного поглощения), создавая спутником Венеры.

Как известно, освещенность, создаваемая Солнцем на гелиоцентрическом расстоянии $r_{\text{♀}}$ , определяется как

E_\odot=\frac{L_\odot}{4\pi r_{\text{♀}}^2}=f_\odot\left(\frac{a_\oplus}{r_{\text{♀}}}\right)^2,\qquad (74)

здесь $L_\odot$ – светимость Солнца, $a_\oplus$ – большая полуось земной орбиты. Поток излучения, падающий на спутник Венеры, есть

\Phi_0=E_\odot\,\pi\mathfrak R_s^2.\qquad (75)

Поток отраженного света его поверхностью можно записать так

\Phi_{ref}=A_s\,\Phi_0\,F_s,\qquad (76)

здесь $A_s=A_{\text{☾}}=0.12$ – альбедо спутника, $F_s=0.5$ – его фаза в наибольшей элонгации. Далее полагая, что отраженный свет распространяется по всем направлениям одинаково (приближение изотропного источника света), определим освещенность, создаваемую спутником на расстоянии $\Delta_{\text{♀}}$ :

E_s=\frac{\Phi_{ref}}{4\pi\Delta_{\text{♀}}^2}=\frac{A_s\pi\mathfrak R_s^2}{4\pi\Delta_{\text{♀}}^2}F_s f_\odot\left(\frac{a_\oplus}{r_{\text{♀}}}\right)^2=\frac14A_s f_\odot F_s\left(\frac{a_\oplus}{r_{\text{♀}}}\right)^2\left(\frac{\mathfrak R_s}{\Delta_{\text{♀}}}\right)^2.\qquad (77)

Приравнивая освещенности $E_s$ и $E_{\min}$ и выражая $\mathfrak R_s$ , в результате получаем

\mathfrak R_s^{\min}=2\Delta_{\text{♀}}\frac{r_{\text{♀}}}{a_\oplus}\sqrt{\frac{E_{\min}}{A_s f_\odot F_s}}=2\Delta_{\text{♀}}\frac{r_{\text{♀}}}{a_\oplus}\sqrt{\frac1{A_s F_s}}\,10^{-0.2(m_{\max}-m_\odot)}.\qquad (78)

Очевидно, для параметра $\mathfrak R_s^{\min}$ характерен следующий ИДЗ:

\begin{aligned} 2.249\cdot10^{-6}\Delta_{\text{♀}}^{(\min)}\left(\frac{r_{\text{♀}}^{(\min)}}{a_\oplus}\right)&\le\mathfrak R_s^{\min}\le2.249\cdot10^{-6}\Delta_{\text{♀}}^{(\max)}\left(\frac{r_{\text{♀}}^{(\max)}}{a_\oplus}\right),\quad\Rightarrow\\ 159.7\text{ км}&\le\mathfrak R_s^{\min}\le249.1\text{ км.} \end{aligned}\qquad (79)

Массу спутника определим выражением вида:

\mathfrak M_s=\rho_{\text{☾}}\frac43\pi(\mathfrak R_s^{\min})^3,\quad\Rightarrow5.70\cdot10^{19}\text{ кг}\le\mathfrak M_s\le2.16\cdot10^{20}\text{ кг.}\qquad (80)

Из последнего результата следует, что допустимая минимальная масса такого спутника меньше массы центральной планеты более чем в 20 тысяч раз!

Запишем третий обобщенный закон Кеплера для двух пар «Венера-спутник» и «Солнце-Земля»:

\frac{(\mathfrak M_{\text{♀}}+\mathfrak M_s)T_s^2}{(\mathfrak M_\odot+\mathfrak M_\oplus)T_\oplus^2}=\frac{r_s^3}{a_\oplus^3},\quad\Rightarrow T_s\approx T_\oplus\left(\frac{r_s}{a_\oplus}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{\mathfrak M_\odot}{\mathfrak M_{\text{♀}}}}.\qquad (81)

При записи последнего учтено, что $\mathfrak M_{\text{♀}}\gg\mathfrak M_s$ , $\mathfrak M_\odot\gg\mathfrak M_\oplus$ . В результате получаем следующий ИДЗ для сидерического периода обращения спутника:

3.23\text{ сут}\le T_s\le3.67\text{ сут.}\qquad (82)

Проверим, может ли, в принципе, Венера иметь на такой орбите спутник. Чтобы спутник мог пребывать на такой орбите, последняя должна целиком лежать в пределах сферы Хилла – гравитационной сферы, в пределах которой любое небесное тело, движущееся вокруг данного, является его стабильным спутником. Радиус последней определяется, главным образом, гравитационным влиянием Солнца и представляется в виде:

R_{Hill}=r_{\text{♀}}\sqrt[3]{\frac13\frac{\mathfrak M_{\text{♀}}}{\mathfrak M_\odot}},\quad\Rightarrow1.00\cdot10^6\text{ км}\le R_{Hill}\le1.02\cdot10^6\text{ км.}

Очевидно, что сфера Хилла гораздо больше возможных значений радиуса орбиты спутника, значит Венера может иметь спутник на расстояниях (72).

Ответ: к задаче представлен выражениями (72), (79), (80), (82); может. ( $\text{\textdollar}_{\max}=15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2021-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2021-1]_10-11 classes.pdf