Самара 2021, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача №11. «Фотоохота на астероиды Главного пояса» · Уровень «Знаток» (уровень B)

Дано:

$N=70$, $m_{\max}=10^m$, $N=18$ Мп, $k=1.6$, $f=135$ мм, $-10^\circ\le\beta\le10^\circ$.

Найти: $N_a$ – ? $d''_{\min}$ – ?

Решение:

Прежде всего, вычислим поверхностную концентрацию $n_\Omega$ астероидов, в области небосвода, занимаемой Главным поясом астероидов, то есть определим количество астероидов, приходящихся на единицу телесного угла, в области пояса:

здесь учтено, что общее количество астероидов $N$ равномерно распределено по эклиптике и ее окрестностях, в полосе с эклиптической широтой $\beta$, принадлежащей указанному в разделе «дано» интервалу. $\Omega_\text{п}$ – телесный угол, соответствующий данной полосе. Определим данный телесный угол. Для этого учтем, что данную полосу на небесной сфере можно представить как разницу между поверхностью всей небесной сферы и двух одинаковых областей, заключенных внутри конусов, с вершиной, расположенной в центре небесной сферы, углом раствора $90^\circ-\beta_{\max}$ (где $\beta_{\max}=10^\circ$), осью симметрии которых является ось эклиптики. Тогда искомый телесный угол можно представить в виде:

здесь учтено, что телесный угол для конуса с углом раствора $\alpha$, выраженный в стереорадианах, представляется в виде:

Из выражений (62) и (63) следует, что

Далее вычислим телесный угол, соответствующий полю зрения камеры. Поскольку через геометрический центр линзы световые лучи проходят без преломления, то искомый телесный угол равен телесному углу, под которым видна матрица фотоаппарата с позиции геометрического центра линзы. Последний можно представить следующим приближенным выражением (оно справедливо, поскольку фокусное расстояние объектива $f$ существенно больше размеров кроп-матрицы фотоаппарата):

здесь $a_0=36$ мм, $b_0=24$ мм – размеры полнокадровой матрицы, $a$, $b$ – размеры кроп-матрицы данного фотоаппарата, связанные с размерами полнокадровой матрицы выражениями вида:

Следовательно искомое количество астероидов, которое может зафиксировать одновременно в одном кадре такая камера, ориентированная в меридиан, в истинную полночь есть

Т.о., в пределы одного кадра, полученного таким фотоаппаратом, попадает меньше одного астероида! Поэтому необходимо снимать несколько кадров для большего охвата небосвода и отлова данных тел.

При ответе на последний вопрос задачи необходимо учесть, что разрешающая способность фотокамеры определяется разрешающей способностью ее матрицы, поскольку у объектива эта характеристика всегда существенно выше. Воспользуемся теоремой Котельникова и построим, приблизительно, профиль распределения интенсивности света для двойной звезды, формирующегося на ПЗС-матрице (см. рис. 11). Очевидно, что центры изображений (кружков) звезд должны быть расположены на $4\ell$ друг от друга (здесь $\ell$ – размер пикселя). Поскольку картина формируется в фокальной плоскости, то разрешающую способность $\beta_\text{м}$ можно записать так

Ответ: к задаче представлен результатами (66)-(67). (14 баллов).