Самара 2021, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача №10. «Изменение продолжительности гражданских сумерек» · Уровень «Знаток» (уровень B)

Решение. Как известно, гражданскими сумерками называется промежуток времени, в течение которого высота истинного солнца, отсчитываемая относительно горизонта, изменяется в пределах от $-6^\circ$ до $-51'$. Гражданские сумерки бывают утренними и вечерними. Предположим, что наблюдатель Солнца находится в северном географическом полушарии, на географической широте $\varphi$. Пусть в момент времени $t_1$ наступает начало вечерних гражданских сумерек, в это момент верхняя точка видимого диска Солнца скроется за горизонтом, при этом высота истинного Солнца станет равной $h_1=-51'$ (см. рис. 10). В момент времени $t_2$ истинное Солнце окажется на высоте $h_2=-6^\circ$ и данные сумерки завершаются. Для определения продолжительности гражданских сумерек воспользуемся формулой (25.b) из задачи №7 настоящего релиза, с учетом что $z_\odot=90^\circ-h_\odot$:

здесь $\delta_\odot$ – склонение Солнца на момент наблюдения сумерек, $\omega_\oplus$, $T_\oplus$ – угловая скорость и период вращения Земли вокруг своей оси, $\tau$ – промежуток времени, прошедшего с момента верхней кульминации светила до данного момента времени. С учетом (49)-(50), продолжительность гражданских сумерек можно представить в виде:

Если склонение Солнца есть небольшой угол, то угол между горизонтом и его суточной параллелью равен $90^\circ-\varphi$. Дугу параллели $\ell=C_1C_2$ можно представить в виде:

здесь $\omega_\odot=\omega_\oplus\cos\delta_\odot$ – угловая скорость видимого движения Солнца по суточной параллели со склонением $\delta_\odot$. Нетрудно доказать, что выражение (52) является частным случаем точного результата (51). Учтем далее, что склонение Солнца в течение года принимает значения из интервала (30). Очевидно, с ростом широты местности и склонения Солнца знаменатель (52) уменьшается, а продолжительность сумерек возрастает. Следовательно, наименьшая продолжительность суток достигается на экваторе, $\varphi=0^\circ$. Очевидно, здесь же будет достигаться минимум изменения продолжительности суток:

б) Продолжительность пребывания Солнца над горизонтом на экваторе составляет $T_\oplus/2=11$ часов 58 минут (без учета рефракции света и конечности размеров диска Солнца) или $T_\oplus/2+2\cdot51'/\omega_\odot=12$ часов 05 минут (с учетом данных факторов).

в) Продолжительность данного вида сумерек на экваторе, с учетом (51), будет определяться интервалом:

Рассмотрим другой важный случай: изменение продолжительности суток на географических полюсах. С использованием формулы (33) можно определить продолжительность гражданских сумерек на полюсах:

Откуда продолжительность (при условии что склонение Солнца равно его высоте) есть

здесь $T_\odot$ – продолжительность тропического года. Очевидно, что изменение величины $\tau$ при переходе от осенних к весенним сумеркам на полюсе (как известно, сумерки случаются на полюсах лишь 2 раза в год!) может быть обусловлено лишь изменением продолжительности тропического года $T_\odot$ или величины угла $\varepsilon$.

Изменение продолжительности тропического года на больших временных интервалах можно описать формулой:

здесь $T$ – количество юлианских столетий (1 юлианское столетие равно в точности 36 525 дней), отсчитываемых от полудня 1 января 2000 года. Угол $\varepsilon$ изменяется главным образом в результате прецессии и нутации земной оси. Зависимость $\varepsilon$ от времени, обусловленная прецессией можно определить формулой:

Численный анализ показывает, что за полгода 2020 года тропический год увеличился всего лишь на $2.66\cdot10^{-3}$ с, а угол $\varepsilon$ уменьшился на $\Delta\varepsilon_p=0.23''$. Оценим изменение угла $\varepsilon$ "сверху" в случае нутации. Как известно, полюс мира в результате нутации за $18.6$ лет описывает кривую, которую в низшем приближении можно аппроксимировать эллипсом с осями $18''\times16''$. Будем полагать, что полюс описывает прямоугольник с указанными размерами, следовательно, максимальное годичное изменение угла

Тогда полное годичное изменение угла не может быть больше $\Delta\varepsilon=\Delta\varepsilon_p+\Delta\varepsilon_n=3.89''$. В настоящее время $\varepsilon=23^\circ26'12''$.

Следовательно, на полюсах изменение продолжительности гражданских сумерек в течение года будет меньше, чем на экваторе, и составляет

Искомый интервал возможных значений продолжительности сумерек на 2020 год составляет

Время пребывания Солнца над горизонтом с учетом конечности размеров его диска и рефракции света составляет $182.658$ сут.

Ответ: а) $\varphi=\pm90^\circ$, б) $182.658$ сут, в) представляется выражением (61). $\varphi=0^\circ$. (14 баллов).