Съдържание

Самара 2021, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача №9. «Перетягивание Луны» · Уровень «Знаток» (уровень B)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон 2020–2021. Тур №1. 10–11 классы. · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Титульные листы печатают «Сезон 2020–2021», «Тур №1», «Самара 2020 г.»; заголовки условий содержат 2020, а решений – 2021. Сохранены печатные ошибки решений: 1981 в описании введения календаря в 1918 году; знаменатель формулы15; пропущенный аргумент sin в формуле21; несоответствующая графику подпись рис.9; оба случая и противоречивый окончательный ответ задачи10. В ссылке на автора сохранено напечатанное «Филатов», в отдельной строке верстки – «Филиппов». Печатный текст и численные значения не исправлялись.

Сезон 2020–2021. Тур №1. 10–11 классы

Самарский региональный центр для одаренных детей. Самарская областная астрономическая школа. Открытая многоэтапная олимпиада по астрономии имени Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. СЕЗОН 2020–2021. ТУР №1. Самара 2020 г.

Условия. Обращение и памятка участника

Дорогие Друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень В). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10–11 классов к решению задач ее различных этапов.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач заочной олимпиады по астрономии ОМОА им. Ф.А. Бредихина среди обучающихся 10–11 классов. Сезон: 2020–2021, Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/tasks

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: https://vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи работ ОМОА им. Ф.А. Бредихина тура №1 на проверку: 15.10.2020–30.11.2020!!!
Электронный ящик Олимпиады: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/doc-57032141_451699934

Условия и решения. Ссылка, автор и памятка участника

Дорогие Друзья!

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10–11 классов. Тур №1». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions

Составитель: – Филатов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н.

Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021

Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/
Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp
Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 тура №1 на проверку: 15.10.2020–30.11.2020!!!
Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru
Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2020, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2020»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Справочные данные A.1–A.10, все таблицы и диаграммы. В оригинале приложение помещено после условий (стр.8–15) и повторено после решений (стр.33–40).

Условие

Что притягивает сильнее Луну: Земля или Солнце? Если Солнце, то почему тогда Луна движется вокруг Земли, а не вокруг Солнца? Чему должен быть равен сидерический период обращения системы «Земля-Луна», чтобы стал возможным захват Луны Солнцем? (14 баллов).

Решение

Решение. Определим силы взаимодействия между Луной и Землей, Луной и Солнцем, в приближении двух материальных точек, с использованием закона всемирного тяготения Ньютона:

F_{\text{☾}-\oplus}=\frac{G\mathfrak M_{\text{☾}}\mathfrak M_\oplus}{a_{\text{☾}}^2},\quad F_{\text{☾}-\odot}=\frac{G\mathfrak M_{\text{☾}}\mathfrak M_\odot}{a_\oplus^2},\qquad (43)

здесь $G$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak M_\odot$ , $\mathfrak M_\oplus$ , $\mathfrak M_{\text{☾}}$ – массы Солнца, Земли и Луны соответственно, $a_{\text{☾}}$ – сегодняшняя большая полуось лунной орбиты (относительно центра Земли), $a_\oplus$ – большая полуось земной орбиты (относительно центра Солнца).

Найдем отношение данных сил:

\eta=\frac{F_{\text{☾}-\odot}}{F_{\text{☾}-\oplus}}=\frac{\mathfrak M_\odot}{\mathfrak M_\oplus}\left(\frac{a_{\text{☾}}}{a_\oplus}\right)^2=2.20.\qquad (44)

Из последнего выражения следует, что сила притяжения Луны Солнцем в 2.20 раза больше силы притяжения Луны Землей. Однако Луна движется вокруг Земли, а не вокруг Солнца. Это обусловлено тем, что Земля и Луна постоянно падают на Солнце в его почти однородном гравитационном поле. Из-за взаимного притяжения эти тела образуют связанную систему и способны двигаться вокруг общего центра масс, подобно заряженным шарикам, свободно падающим в однородном поле силы тяжести Земли, вблизи ее поверхности.

В случае захвата Луны Солнцем необходимо, чтобы под действием результирующей силы, равной векторной сумме сил притяжения со стороны данных тел, последняя должна двигаться по круговой гелиоцентрической орбите. Очевидно, вероятнее всего, такой захват сможет произойти в момент, когда Луна располагается между Солнцем и Землей. Пусть $a_{\text{☾}}^{(1)}$ – расстояние от Луны до Земли в момент захвата, тогда последняя начнет двигаться по гелиоцентрической орбите радиуса $a_\oplus-a_{\text{☾}}^{(1)}$ . Запишем второй закон Ньютона для Луны, движущейся вокруг Солнца в проекциях на направление «Земля-Солнце»:

\mathfrak M_{\text{☾}}\omega_\oplus^2(a_\oplus-a_{\text{☾}}^{(1)})=\frac{G\mathfrak M_{\text{☾}}\mathfrak M_\odot}{(a_\oplus-a_{\text{☾}}^{(1)})^2}-\frac{G\mathfrak M_{\text{☾}}\mathfrak M_\oplus}{(a_{\text{☾}}^{(1)})^2},\qquad (45)

здесь учтено, что в момент захвата Луна будет двигаться вокруг Солнца с той же угловой скоростью что и Земля – $\omega_\oplus$ . С другой стороны, можно записать второй закон Ньютона для Земли, движущейся по круговой орбите радиуса $a_\oplus$ :

\mathfrak M_\oplus\omega_\oplus^2a_\oplus=\frac{G\mathfrak M_\oplus\mathfrak M_\odot}{a_\oplus^2},\quad\Rightarrow\omega_\oplus^2=\frac{G\mathfrak M_\odot}{a_\oplus^3}.\qquad (46)

Подставим последний результат для угловой скорости орбитального движения Земли в уравнение (45). В результате имеем

\frac{\mathfrak M_\odot}{a_\oplus^3}(a_\oplus-a_{\text{☾}}^{(1)})=\frac{\mathfrak M_\odot}{(a_\oplus-a_{\text{☾}}^{(1)})^2}-\frac{\mathfrak M_\oplus}{(a_{\text{☾}}^{(1)})^2}.

Пусть $\eta=\mathfrak M_\oplus/\mathfrak M_\odot$ , $x=a_{\text{☾}}^{(1)}/a_\oplus$ , причем очевидно, что $x\ll1$ , $\Rightarrow$

\begin{aligned} (1-x)^3&=1-\eta\left(\frac1x-1\right)^2,\quad\Rightarrow1-3x\approx1-\frac\eta{x^2},\quad\Rightarrow x^3=\frac\eta3,\quad\Rightarrow\\ x&=\sqrt[3]{\frac\eta3},\quad\Rightarrow a_{\text{☾}}^{(1)}=a_\oplus\sqrt[3]{\frac13\frac{\mathfrak M_\oplus}{\mathfrak M_\odot}}=1.497\cdot10^6\text{ км.} \end{aligned}\qquad (47)

Определим далее сидерический период обращения системы «Земля-Луна», в момент захвата, с использованием третьего закона Кеплера:

\left(\frac{T_{\text{☾}}^{(1)}}{T_{\text{☾}}}\right)^2=\left(\frac{a_{\text{☾}}^{(1)}}{a_{\text{☾}}}\right)^3,\quad\Rightarrow T_{\text{☾}}^{(1)}=T_{\text{☾}}\left(\frac{a_{\text{☾}}^{(1)}}{a_{\text{☾}}}\right)^{3/2}=209.97\text{ сут}\approx210\text{ сут.}\qquad (48)

Ответ: к задаче представляется выражением (48). (14 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[OIOA_2021-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: Decisions[OIOA_2021-1]_10-11 classes.pdf