Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача №11. «Предел Чандрасекара для белого карлика»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021. Тур №2. 10–11 классы. · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены особенности оригинала: в условии№5 требуется доля освещенной поверхности всей Луны, а ключ№5 уточняет «видимой с Земли»; в ключе№3 M⊕ названа массой Солнца; в формуле43 оставлена последовательность =≥; в формуле90 слева напечатано V0² перед квадратным корнем; в справочных данных A.4 эксцентриситет Луны0.55; солнечная величина−26.74 в A.2 и−26.8 в A.7; промежуточный знак гравитационного давления в ключе№11 и ссылка на таблицу1 оставлены. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон2020–2021, Тур№2,10–11классы

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №2 Самаpа, 2021 г.

Автор, атрибуция и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp 3. Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина- 2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021-31.03.2021!!! 4. Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В едином оригинале приложение помещено на физических стр.30–37.

Условие

Как известно, белый карлик (БК) является одной из возможных конечных стадий эволюции звезд, небесным шарообразным телом, где гравитационные силы уравновешивают силы давления вырожденного газа. Давление вырожденного электронного газа имеет квантовую природу. Оно возникает как следствие принципа Паули, которому подчиняются электроны. С использованием данного принципа и соотношения неопределенностей Гейзенберга, получите

1 Аналитическое выражение для давления вырожденного электронного газа. (4 балла)

2 Аналитическое выражение для давления звездного вещества, обусловленного гравитационными силами. (3 балла)

3 Аналитическое выражение и численный результат для максимально допустимой массы БК (предел Чандрасекара). (3 балла)

4 Аналитическое (оценочное) выражение и численный результат для средней массовой плотности вырожденного газа БК. (2 балла)

5 Аналитическое выражение и численный результат для радиуса БК в пределе Чандрасекара. (2 балла)

Решение

Задача №11. «Предел Чандрасекара для белого карлика»

Решение.

Принцип Паули устанавливает предельный минимальный объем фазового пространства, который может занимать каждый электрон. Внешнее давление не в состоянии этот объем уменьшить. Если полагать, что в все электроны БК достигли своего минимального фазового объема и гравитационное сжатие уравновешено внутренним давлением электронного газа, то легко оценить предельную массу БК, воспользовавшись соотношением неопределенности Гейзенберга для электрона:

\Delta x\cdot\Delta p_x\approx\hbar\qquad (69)

далее будем полагать, что неопределенности координаты и импульса одного порядка с соответствующими величинами:

\Delta x\approx x,\quad\Delta p_x\approx p_x

где $x$ — характерные расстояния до которых сближаются электроны под действием сил гравитации, приобретая импульсы $p_{x}$ . Концентрация электронов в системе есть

n_e=\frac1{x^3}

то соотношение (69) сведется к уравнению вида:

p_x\approx\hbar\cdot n_e^{1/3}.

Давление релятивистского электронного газа есть

P_e=\frac{F_x}{\Delta S}=\frac{N_e\cdot p_x}{\Delta S\cdot\Delta t}=\frac{n_e\cdot\Delta S\cdot\Delta x\cdot p_x}{\Delta S\cdot\Delta t}=n_e\cdot v_x\cdot p_x\approx n_e\cdot c\cdot p_x\qquad (70)

здесь учтено, то для релятивистского электрона $v_{x} \approx c$ , где $c$ – скорость света в вакууме. (4 балла) 2. Давление гравитационных сил можно представить в виде:

P_G=\frac{F_G}{\Delta S}=-\frac{\Delta U_G}{\Delta x\cdot\Delta S}=-\frac{\Delta U_G}{\Delta V}\approx-\frac{U_G}{\Delta V}

здесь учтено, что гравитационные силы являются потенциальными и, следовательно, для них можно ввести потенциальную энергию $U_{G}$ . Известно, что гравитационная потенциальная энергия однородного шара-звезды представляется в виде:

U_G=-\frac35\frac{G\cdot\mathfrak M_*^2}{\mathfrak R_*}\qquad (71)

Учитывая, что массу звезды определяют главным образом протоны и нейтроны1, мы можем записать $\mathfrak{M}_{*}\approx N_{p}m_{p} + N_{n}m_{n}$ и принимая во внимание соотношения $n_p = N_p/\Delta V = n_e$ (концентрации протонов и электронов должны быть равны в силу квазинейтральности звездной плазмы) и $m_p \approx m_n$ в итоге получаем

P_G=\frac35\frac{G\cdot n\cdot m_p\cdot\mathfrak M_*}{\mathfrak R_*}\qquad (72)

(3 балла) 3. В состоянии механического равновесия рассмотренные выше давления должны быть равны, следовательно

\frac35\frac{G\cdot n\cdot m_p\cdot\mathfrak M_*}{\mathfrak R_*}=n_e\cdot c\cdot p_x,\quad\Rightarrow\frac{\mathfrak M_*}{\mathfrak R_*}=\frac53\cdot\frac{12}{14}\frac{c\cdot p_x}{G\cdot m_p},\quad\Rightarrow

\frac{\mathfrak M_*}{\mathfrak R_*}=\frac53\cdot\frac{12}{14}\frac{c\cdot\hbar\cdot n_e^{1/3}}{G\cdot m_p},\quad\Rightarrow

\frac{\mathfrak M_*}{\mathfrak R_*}=\frac53\frac{c\cdot\hbar}{G\cdot m_p}\left(\frac{12}{14}\right)^{4/3}\left(\frac{\mathfrak M_*}{(4/3)\cdot\pi\cdot\mathfrak R_*^3\cdot m_p}\right)^{1/3},\quad\Rightarrow

1Согласно таблице 1, на 10 протонов звездного вещества приходится (в среднем) одно ядро гелия, где содержится два протона и два нейтрона, тогда концентрация протонов составляет $n_p=(12/14)n$ , а концентрация нейтронов $n_n=(2/14)n$ от полной концентрации барионов $n$ .

\mathfrak M_{Ch}=\left(\frac{12}{14}\right)^2\cdot\left(\frac53\right)^{3/2}\sqrt{\frac3{4\cdot\pi}}\cdot\frac1{m_p^2}\cdot\left[\frac{c\cdot\hbar}G\right]^{3/2}\approx1.43\cdot\mathfrak M_\odot.\qquad (73)

Последняя величина есть максимально допустимая масса БК (предел Чандрасекара). Самые точные оценки, в зависимости от химического состава белого карлика, дают значения $\mathfrak{M}_{Ch} \approx (1.38 \div 1.44)\mathfrak{M}_{\odot}$ . (3 балла) 4. Массовая плотность БК определяется из соотношения вида:

\rho=m_p\cdot n_e=m_p\left(\frac{p_e}{\hbar}\right)^3

поскольку газ является релятивистским, то $p_{e} \approx m_{e}c/2$ (полагаем здесь и далее $v_{e} = c/2$ ), тогда

\rho=m_p\cdot n_e=\frac{m_p}{(2\hbar/(m_e\cdot c))^3}=3.64\cdot10^9\text{ кг/м}^3=3.64\cdot10^6\text{ г/см}^3.\qquad (74)

(2 балла) 5. Для радиуса БК с массой, равной $\mathfrak{M}_{Ch}$ , имеем

\mathfrak R_*=\left(\frac{3\mathfrak M_{Ch}}{4\pi\cdot\rho}\right)^{1/3}=5.07\cdot10^6\text{ (м)}=5.07\cdot10^3\text{ (км)}.\qquad (75)

(2 балла) Ответ:

к задаче представлен результатами (70), (72)-(75). (14 баллов).

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_10-11 classes.pdf