Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача №10. «Где-то там... на краю Галактики»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021. Тур №2. 10–11 классы. · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены особенности оригинала: в условии№5 требуется доля освещенной поверхности всей Луны, а ключ№5 уточняет «видимой с Земли»; в ключе№3 M⊕ названа массой Солнца; в формуле43 оставлена последовательность =≥; в формуле90 слева напечатано V0² перед квадратным корнем; в справочных данных A.4 эксцентриситет Луны0.55; солнечная величина−26.74 в A.2 и−26.8 в A.7; промежуточный знак гравитационного давления в ключе№11 и ссылка на таблицу1 оставлены. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон2020–2021, Тур№2,10–11классы

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №2 Самаpа, 2021 г.

Автор, атрибуция и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp 3. Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина- 2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021-31.03.2021!!! 4. Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В едином оригинале приложение помещено на физических стр.30–37.

Условие

На рис. 3 представлена часть диска Млечного Пути (МП). Полагая, что вся масса и звезды МП сосредоточены в его галактическом диске (последний следует считать однородным), определите первую и вторую космические скорости для звезд на краю галактического диска. Следует считать, что масса МП составляет $\mathfrak{M}_{G} = 1.5 \cdot 10^{12} \cdot \mathfrak{M}_{\odot}$ , диаметр диска – $D_{G} = 10^{5}$ св. лет., толщина диска – $H = 10^{3}$ св. лет. (14 баллов).

Полная исходная фотография Млечного Пути, все звезды, границы кадра — Рис. 3: участок Млечного Пути с его некоторыми яркими звездами (автор: Филиппов Ю.П.).

Решение

Задача №10. «Где-то там... на краю Галактики»

Решение.

Как известно, если звезда обладает второй космической скоростью относительно какого-либо источника гравитационного поля, то ее полная механическая энергия должна быть равна нулю, т.е.

\frac{m_*V_{II}^2}2+U_p=0,\quad\Rightarrow V_{II}=\sqrt{\frac{2(-U_p)}{m_*}}\qquad (53)

здесь $m_{*}$ – масса звезды, $U_{p}$ – потенциальная энергия гравитационного взаимодействия звезды и источника (диска Галактики). Если звезда образует гравитационно связанную стационарную систему с данным источником (диском Галактики), то для нее справедлива теорема вириала:

2\left(\frac{m_*V_I^2}2\right)+U_p=0,\quad\Rightarrow V_I=\sqrt{\frac{-U_p}{m_*}}\qquad (54)

здесь учтено, что в диске Галактики звезды движутся по орбитам, близким к круговым, поэтому $V_I$ является первой космической скоростью звезды в гравитационном поле источника (диска Галактики). Из (53) и (54) следует, что для определения $V_I$ и $V_{II}$ необходимо определить потенциальную энергию гравитационного взаимодействия звезды с диском Галактики – $U_{p}$ . Поскольку размеры звезды много меньше размеров Галактики, то ее можно считать материальной точкой массы $m_{*}$ . Тогда $U_{p}$ можно записать (по аналогии с кулоновской потенциальной энергией) в виде:

U_p=m_*\varphi_G\qquad (55)

здесь $\varphi_G$ – гравитационный потенциал диска Галактики на его краю, который подлежит определению. Из аналогии гравитационного и кулоновского электрического поля нетрудно доказать, что гравитационный потенциал точечной массы $dm$ на расстоянии $r$ от последней можно определить как

d\varphi_G=-\frac{G\,dm}r\qquad (56)

здесь знак « $-$ » указывает на характер взаимодействия между телами – притяжение. Рассмотрим однородный диск массы $\mathfrak{M}_{G}$ и радиуса $\mathfrak{R}_{G}$ . И определим гравитационный потенциал плоского тонкого диска в точке $O$ (см. рис. 10). Для этого заметим, что уравнение окружности – границы диска в системе координат $O_1X_1Y_1$ есть

x_1^2+y_1^2=\mathfrak R_G^2\qquad (57)

а в системе $OXY$ :

(x-\mathfrak R_G)^2+y^2=\mathfrak R_G^2.\qquad (58)

Далее для удобства последующих вычислений перейдем в полярную систему координат $(r, \varphi )$ , ось которой будет совпадать с осью $OX$ , посредством замены:

x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi.\qquad (59)

Тогда уравнение (58) можно переписать так

r^2-2\mathfrak R_G r\cos\varphi+\mathfrak R_G^2=\mathfrak R_G^2,\quad\Rightarrow\qquad (60)

r_1=0\text{ или }r_2=2\mathfrak R_G\cos\varphi.\qquad (61)

Полученные значения определяют минимальное и максимальное значения полярного радиус-вектора как функции полярного угла. Потенциал гравитационного поля диска $\varphi_G$ можно определить с использованием принципа суперпозиции:

\varphi_G=\int d\varphi_G=-\int_{\mathfrak M_G}\frac{G\,dm}r\qquad (62)

при записи последнего результата подразумевалось, что производится мысленное разбиение всего диска на столь малые площадки величиной $dS$ и массы $dm$ , что каждую из них можно рассматривать как точечную массу. Итоговый потенциал определяется суммой (интегралом) потенциалов всех таких элементов диска, создаваемых ими в точке $O$ . Введем понятие поверхностной плотности вещества диска Галактики – скалярной физической величины, равной отношению массы вещества диска, приходящуюся на единицу площади его поверхности, т.е.

\sigma=\frac{\mathfrak M_G}{S_G}=\frac{\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G^2}.\qquad (63)

Следовательно, массу элемента диска можно записать так

dm=\sigma\,dS=\sigma(r\,d\varphi)\,dr\qquad (64)

в последнем выражении учтено, что элементарную площадку согласно рис. 10, можно представить в виде $dS = (r d\varphi ) dr$ . Тогда интеграл (62) можно записать так

\begin{aligned}\varphi_G&=-G\sigma\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r_1}^{r_2}dr\,d\varphi=-\frac{G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G^2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int_{r_1}^{r_2}dr=-\frac{G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G^2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\mathfrak R_G\cos\varphi\,d\varphi=\\&=-\frac{2G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G}\left.\sin\varphi\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}=-\frac{2G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G}\left(\sin\frac\pi2+\sin\frac\pi2\right)=-\frac{4G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G}.\end{aligned}\qquad (65)

Согласно (55) и (65) получаем

U_p=-\frac{4Gm_*\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G}.\qquad (66)

Следовательно, согласно (53) и (54) первая и вторая космические скорости звезды будут равны:

V_I=\sqrt{\frac{4G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G}}=\sqrt{\frac{8G\mathfrak M_G}{\pi D_G}}=732\text{ км/с}\qquad (67)

V_{II}=\sqrt{\frac{8G\mathfrak M_G}{\pi\mathfrak R_G}}=\sqrt{\frac{16G\mathfrak M_G}{\pi D_G}}=1035\text{ км/с}.\qquad (68)

Очевидно, что полученный результат для $V_I$ существенно больше значения скорости на периферии Галактики в действительности (см. рис. 2). Это можно объяснить лишь неоднородностью диска Галактики, падением поверхностной плотности вещества от центра к периферии и как следствие уменьшением потенциала гравитационного поля диска. Ответ:

к задаче представлен выражениями (67)-(68). (14 баллов).

Полный исходный круг диска, все оси X/Y/X1/Y1, O/O1, радиус, элемент площади dr/rdφ/dφ — Рис. 10: к определению потенциала гравитационного поля однородного диска.

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_10-11 classes.pdf