Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача №9. «Гипотеза Planet Nine и ее видимая звездная величина»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021. Тур №2. 10–11 классы. · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены особенности оригинала: в условии№5 требуется доля освещенной поверхности всей Луны, а ключ№5 уточняет «видимой с Земли»; в ключе№3 M⊕ названа массой Солнца; в формуле43 оставлена последовательность =≥; в формуле90 слева напечатано V0² перед квадратным корнем; в справочных данных A.4 эксцентриситет Луны0.55; солнечная величина−26.74 в A.2 и−26.8 в A.7; промежуточный знак гравитационного давления в ключе№11 и ссылка на таблицу1 оставлены. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон2020–2021, Тур№2,10–11классы

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №2 Самаpа, 2021 г.

Автор, атрибуция и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp 3. Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина- 2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021-31.03.2021!!! 4. Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В едином оригинале приложение помещено на физических стр.30–37.

Условие

В январе 2016 года американскими астрофизиками Брауном М.Е. и Ботыгиным К. была сформулирована гипотеза о существовании на окраинах Солнечной системы еще одной планеты, получившей название Planet Nine (Планета 9). По последним оценкам специалистов масса этой планеты заключена в интервале $(5 \div 20)\mathfrak{M}_{\oplus}$ (здесь и далее $\mathfrak{M}_{\oplus}, \mathfrak{R}_{\oplus}$ – масса и радиус Земли соответственно). Радиус планеты должен удовлетворять уравнению вида:

\mathfrak R_{P9}=\mathfrak R_\oplus\left(2.4+0.1\left(\frac{\mathfrak M_{P9}}{\mathfrak M_\oplus}\right)\right)\qquad (1)

где $\mathfrak{M}_{P9}, \mathfrak{R}_{P9}$ – масса и радиус гипотетической планеты. Сферическое альбедо ( $A_{P9}$ ) планеты, большая полуось ( $a_{P9}$ ) ее орбиты и эксцентриситет ( $\varepsilon _{P9}$ ) должны удовлетворять системе неравенств вида:

0.3\le A_{P9}\le0.75,\quad350\text{ а.е.}\le a_{P9}\le1000\text{ а.е.},\quad0.3\le\varepsilon_{P9}\le0.75.\qquad (2)

Опираясь на данные результаты, оцените

1 Интервал возможных значений для видимой звездной величины планеты. (10 баллов)

2 Минимальный диаметр зеркала телескопа, необходимого для визуального поиска и идентификации гипотетической планеты. (4 балла)

Решение

Задача №9. «Гипотеза Planet Nine и ее видимая звездная величина»

Решение.

Прежде всего определим интервалы допустимых значений для радиуса и гелиоцентрического расстояния Planet Nine. Согласно условию задачи, масса планеты должна быть заключена в интервале $(5\div 20)\mathfrak{M}_{\oplus}$ . Тогда радиус планеты должен принадлежать интервалу:

2.9\mathfrak R_\oplus\le\mathfrak R_{P9}\le4.4\mathfrak R_\oplus.\qquad (45)

Диапазон допустимых гелиоцентрических расстояний ( $r_{P9}$ ) планеты определим интервалом:

a_{\min}(1-\varepsilon_{\max})\le r_{P9}\le a_{\max}(1+\varepsilon_{\max}),\quad\text{или }87.5\text{ а.е.}\le r_{P9}\le1750\text{ а.е.}\qquad (46)

Освещенность ( $E_{\odot}$ ), создаваемая Солнцем у поверхности Planet Nine есть

E_\odot=\frac{L_\odot}{4\pi r_{P9}^2}

здесь $L_{\odot}$ – светимость Солнца. Поток солнечного излучения, падающего на планету, равен

\Phi_0=E_\odot\pi\mathfrak R_{P9}^2=\frac14L_\odot\left(\frac{\mathfrak R_{P9}}{r_{P9}}\right)^2.

Доля $A_{P9}$ от потока $\Phi_0$ отражается от поверхности планеты и рассеивается по всем направлениям (изотропно). При этом освещенность ( $E_{P9}$ ), создаваемая Planet Nine у поверхности Земли (без учета поглощения атмосферой), есть

E_{P9}=\frac{A_{P9}\Phi_0}{4\pi\Delta_{P9}^2}=\frac{A_{P9}}{16\pi\Delta_{P9}^2}L_\odot\left(\frac{\mathfrak R_{P9}}{r_{P9}}\right)^2\qquad (47)

здесь $\Delta _{P9}$ – геоцентрическое расстояние Planet Nine. Поскольку $a_{\oplus}= 1$ а.е. $\ll$ $r_{P9}, \Delta _{P9}$ , тогда $r_{P9} \approx \Delta _{P9}$ , в результате освещенность (47) можно представить в виде:

E_{P9}\approx L_\odot\frac{A_{P9}}{16\pi}\left(\frac{\mathfrak R_{P9}}{r_{P9}^2}\right)^2=\frac14f_\odot A_{P9}\left(\frac{a_\oplus}{r_{P9}}\right)^2\left(\frac{\mathfrak R_{P9}}{r_{P9}}\right)^2,\quad\text{где }f_\odot=\frac{L_\odot}{4\pi a_\oplus^2}\qquad (48)

здесь $f_{\odot}= 1361$ Вт/м $^{2}$ – солнечная постоянная. Определим далее минимальную и максимальную освещенности, создаваемые планетой у поверхности Земли:

E_{P9}^{(\min)}=\frac14f_\odot A_{P9}^{(\min)}\left(\frac{a_\oplus}{r_{P9}^{(\max)}}\right)^2\left(\frac{\mathfrak R_{P9}^{(\min)}}{r_{P9}^{(\max)}}\right)^2

E_{P9}^{(\max)}=\frac14f_\odot A_{P9}^{(\max)}\left(\frac{a_\oplus}{r_{P9}^{(\min)}}\right)^2\left(\frac{\mathfrak R_{P9}^{(\max)}}{r_{P9}^{(\min)}}\right)^2.

C использованием формулы Погсона для звездных величин Planet Nine ( $m_{P9}$ ) и Солнца ( $m_{\odot}= -26.74^{m}$ , согласно справочным данным)

m_{P9}-m_\odot=-2.5\lg\left(\frac{E_{P9}}{f_\odot}\right),\quad\Rightarrow m_{P9}=m_\odot+2.5\lg\left(\frac{f_\odot}{E_{P9}}\right)

определим минимальное и максимальное значения $m_{P9}$ :

m_{P9}^{(\min)}=m_\odot+2.5\lg\left(\frac{f_\odot}{E_{P9}^{(\max)}}\right)=13.13^m\qquad (49)

m_{P9}^{(\max)}=m_\odot+2.5\lg\left(\frac{f_\odot}{E_{P9}^{(\min)}}\right)=28.04^m\qquad (50)

Т.о., интервал возможных значений для видимой звездной величины планеты есть

13.13^m\le m_{P9}\le28.04^m.\qquad (51)

Для того чтобы данную планету можно было обнаружить визуально в любой точке ее орбиты, необходимо чтобы проницающая сила телескопа ( $m_{T}$ ) была не меньше $m_{P9}^{(max)}$ , т.е.

m_{P9}^{(\max)}\le m_T,\quad\text{или }m_{P9}^{(\max)}\le2.1^m+5^m\lg D,\quad\Rightarrow

D_{\min}=10^{0.2(m_{P9}^{(\max)}-2.1^m)}\text{(мм)}=154\text{ м}.\qquad (52)

Ответ:

к задаче представляется диапазоном (51) и результатом (52). (14 баллов).

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_10-11 classes.pdf