Съдържание

Самара 2021, II кръг (очен), 10–11 клас — Задача №8. «Навигационные сумерки в городе белых ночей»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021. Тур №2. 10–11 классы. · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены особенности оригинала: в условии№5 требуется доля освещенной поверхности всей Луны, а ключ№5 уточняет «видимой с Земли»; в ключе№3 M⊕ названа массой Солнца; в формуле43 оставлена последовательность =≥; в формуле90 слева напечатано V0² перед квадратным корнем; в справочных данных A.4 эксцентриситет Луны0.55; солнечная величина−26.74 в A.2 и−26.8 в A.7; промежуточный знак гравитационного давления в ключе№11 и ссылка на таблицу1 оставлены. Эти печатные особенности научно не исправлялись.

ОМОА им. Ф.А. Бредихина. Сезон2020–2021, Тур№2,10–11классы

САМАРСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ДЛЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ САМАРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОТКРЫТОЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ им. Ф.А. БРЕДИХИНА СРЕДИ ОБУЧАЮЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ. СЕЗОН: 2020-2021, ТУР №2 Самаpа, 2021 г.

Автор, атрибуция и памятка участника

Дорогие Друзья! Вашему вниманию в данном релизе представлены 12 оригинальных задач двух уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов, рекомендуемых Центральной предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады школьников по астрономии для подготовки обучающихся 10-11 классов к решению задач ее различных этапов. При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна! Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 среди обучающихся 10-11 классов. Тур № 2». – https://sites.google.com/site/samrasolimp/omoa-solutions Составитель: – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, методист СРЦОД, к.ф.-м.н., доцент кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева. Верстка в системе LATEX – Филиппов Ю.П., Белозерская Л.Н. Памятка участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021 1. Официальный сайт Астрошколы: https://sites.google.com/site/samrasolimp/ 2. Официальная группа в VK: vk.com/bredikhinolimp 3. Сроки подачи решений задач ОМОА им. Ф.А. Бредихина- 2021 тура №2 на проверку: 15.02.2021-31.03.2021!!! 4. Электронный ящик ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: samrasolimp@mail.ru 5. Руководство зарегистрированного участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021: https://sites.google.com/site/samrasolimp/maindocs или https://vk.com/bredikhinolimp

Перед решением задач

Дорогие Друзья! Прежде чем приступить к решению задач и оформлению отчета участника ОМОА им. Ф.А. Бредихина-2021, внимательно ознакомьтесь с «Руководством зарегистрированного участника ОМОА им Ф.А. Бредихина-2021»! Электронный адрес последнего указан в Памятке участника.

Общие справочные данные

Полные справочные данные A.1–A.10, таблицы и диаграммы. В едином оригинале приложение помещено на физических стр.30–37.

Условие

Как известно, в РФ городом белых ночей традиционно считается г. СанктПетербург ( $\varphi _{SP} = 59^{\circ}57^{'}$ , $\lambda _{SP} = 30^{\circ}19^{'}$ ). На самом деле в этом городе не бывает белых ночей (в строгом смысле)! Определите

1 Моменты начала и окончания навигационных сумерек (по декретному времени) в самую короткую ночь года. (6 баллов)

2 Продолжительность навигационных сумерек в этом городе в эту ночь. (2 балла)

3 Минимальное расстояние от данного города до точки поверхности Земли, где уже в течение года могут наблюдаться белые ночи. (3 балла)

4 В какую сторону света надо перемещаться, чтобы попасть в данную точку? (1 балл)

Решение

Задача №8. «Навигационные сумерки в городе белых ночей»

Решение.

Как известно, декретное время $(T_{d})$ связано с поясным $(T_{N})$ посредством уравнения:

T_d=T_N+1^h\qquad (32)

В свою очередь поясное время связано со всемирным $(T_{0})$ так

T_N=T_0+N^h\qquad (33)

здесь $N^{h} = 2^{h}$ – номер часового пояса для Санкт-Петербурга. Местное среднее солнечное время можно связать со всемирным посредством уравнения вида:

T_m=T_0+\lambda_{SP},\quad\Rightarrow T_0=T_m-\lambda_{SP}.\qquad (34)

Местное среднее солнечное с истинным солнечным временем $(T_{\odot})$ связаны посредством уравнения времени $\eta$ :

T_m=T_\odot+\eta=12^h+t_\odot+\eta.\qquad (35)

Из (32)-(35) следует явное выражение для декретного времени:

T_d=t_\odot+\eta-\lambda_{SP}+N^h+13^h\qquad (36)

таким образом, для определения искомого декретного времени, необходимо определить часовой угол $t_{\odot}$ истинного Солнца. Далее рассмотрим параллактический треугольник $\triangle_s P_N ZC$ (см. рис. 9). Для него справедливы формулы синусов, косинусов и пяти элементов в виде:

\left.\begin{array}{l}a)\ \sin z\sin A=\cos\delta\sin t,\\b)\ \cos z=\sin\delta\sin\varphi+\cos\delta\cos\varphi\cos t,\\c)\ \sin z\cos A=-\sin\delta\cos\varphi+\cos\delta\sin\varphi\cos t\end{array}\right\}.\qquad (37)

Из формулы b) последнего набора следует, что

\cos t_\odot=\frac{\cos z-\sin\delta_\odot\sin\varphi_{SP}}{\cos\delta_\odot\cos\varphi_{SP}}=-0.9767,\quad\Rightarrow\qquad (38)

\Rightarrow t_{\odot1}=167.6^\circ=11^h10^m,\quad t_{\odot2}=192.4^\circ=12^h50^m\qquad (39)

здесь учтено, $z = 96^{\circ}$ , $\delta _{\odot}= 23^{\circ}26^{'}$ , поскольку навигационные сумерки начинаются (заканчиваются), когда высота истинного Солнца, относительно горизонта, равна $h_{\odot}= -6^{\circ}$ , и это происходит в ночь летнего солнцестояния. Следовательно моменты начала и окончания навигационных сумерек в Санкт-Петербурге есть

T_d^{(i)}=t_{\odot1}+\eta-\lambda_{SP}+N^h+13^h=11^h10^m+2^m-2^h01^m+2^h+13^h=00^h11^m.\qquad (40)

T_d^{(f)}=t_{\odot2}+\eta-\lambda_{SP}+N^h+13^h=12^h50^m+2^m-2^h01^m+2^h+13^h=1^h51^m.\qquad (41)

Продолжительность навигационных сумерек в эту ночь:

\Delta T=T_d^{(f)}-T_d^{(i)}=1^h40^m.\qquad (42)

3-4. Определим широту на которой уже возможно наблюдение белых ночей – здесь высота Солнца в нижней кульминации должна быть не меньше – $6^{\circ}$ , т.е.

h_\odot^{(\min)}=\varphi+\delta_\odot-90^\circ\ge-6^\circ,\quad\Rightarrow\varphi\ge84^\circ-\delta_\odot=\ge60^\circ34'.\qquad (43)

Очевидно, минимальное расстояние от Санкт-Петербурга до точки поверхности Земли с пограничной широтой $\varphi _{min} = 60^{\circ}34^{'}$ будет достигаться вдоль географического меридиана, проходящего через указанный город. Тогда искомое расстояние $\ell$ можно определить дугой меридиана:

\ell=\frac{\varphi_{\min}-\varphi_{SP}}{360^\circ}\,2\pi\mathfrak R_\oplus=68.6\text{ км}.\qquad (44)

Очевидно, что данная точка расположена к северу относительно Санкт-Петербурга. Ответ:

к данной задаче представляется выражениями (40)-(42), (44); на север. (12 баллов).

Весь исходный параллактический треугольник PN/Z/C, полные дуги, все углы z/q/t/A/φ/δ — Рис. 9: к определению параллактического треугольника.

Оригинал в Архива: Decisions[OIOA_2021-2]_10-11 classes.pdf