Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 10–11 клас — Задача 1. Максимальное время выдержки на Луне

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 10-11 класс · 20 април 2021 г.

Условие

Чему равно максимальное время выдержки при съемке звезды с помощью фотоаппарата, с точки лунного экватора, находящейся в зените, если при съемке звезды той же яркости (определенной за пределами земной атмосферы) в зените, на земном экваторе, тем же фотоаппаратом оно составляет 5 с? Во сколько раз отличается поверхностная яркость образов звезды, полученных на Луне и Земле? Коэффициент пропускания земной атмосферы в видимом свете – $\tau = 0.80$ .

Отговори

Решение

Решение. 1. Максимальное время выдержки ( $\tau_{\max}$ ) при съемке звезды – это максимально возможное время открытия затвора фотоаппарата, при котором звезды на снимках еще остаются точечными объектами. При наблюдении звезды в зените с экватора ее угловая скорость суточного движения равна угловой скорости вращения Земли, т.е. $\omega_* = \omega_\oplus = 2\pi/T_\oplus$ (2 балла), где $T_\oplus$ – сидерический период вращения Земли вокруг своей оси.

Поскольку за время $t_{\max}^{(\oplus)}$ при наблюдении с земного экватора звезда перемещается на угол

\varphi_{\max} = \omega_*\, t_{\max}^{(\oplus)} = \omega_\oplus\, t_{\max}^{(\oplus)},\ \text{(2 балла)} \qquad (1)

причем данный угол фактически равен разрешающей способности фотоаппарата и не зависит от места и времени съемки. Аналогично уравнению (1) можно записать уравнение для Луны:

\varphi_{\max} = \omega_{\text{☾}}\, t_{\max}^{(\text{☾})} = \frac{2\pi}{T_{\text{☾}}}\, t_{\max}^{(\text{☾})},\ \text{(2 балла)} \qquad (2)

здесь $T_{\text{☾}}$ – сидерический период вращения Луны. Из (1) и (2) следует, что

\frac{2\pi}{T_\oplus}\, t_{\max}^{(\oplus)} = \frac{2\pi}{T_{\text{☾}}}\, t_{\max}^{(\text{☾})} \ \Rightarrow\ t_{\max}^{(\text{☾})} = \left(\frac{T_{\text{☾}}}{T_\oplus}\right) t_{\max}^{(\oplus)} = 136.6\ \text{с}.\ \text{(2 балла)} \qquad (3)

2. Яркость изображения звезды ( $J$ ) определяется количеством энергии ( $W$ ) излучения звезды, упавшего на рабочую поверхность приемника площадью ( $S$ ), за время выдержки

J = \frac{W}{S} = \frac{E\, S_{\text{об}}\, \tau\, \alpha\, t}{S},\ \text{(4 балла)} \qquad (4)

здесь $E$ – освещенность, создаваемая звездой у фронтальной поверхности объектива (без учета влияния атмосферы), $S_{\text{об}}$ – площадь его рабочей поверхности, $\alpha$ – коэффициент пропускания света объективом.

В случае Земли и Луны имеем

J_\oplus = \frac{E\, S_{\text{об}}\, \tau\, \alpha\, t_{\max}^{(\oplus)}}{S}, \quad J_{\text{☾}} = \frac{E\, S_{\text{об}}\, \alpha\, t_{\max}^{(\text{☾})}}{S},\ \text{(4 балла)} \qquad (5)

\frac{J_{\text{☾}}}{J_\oplus} = \frac{t_{\max}^{(\text{☾})}}{\tau\, t_{\max}^{(\oplus)}} = \frac{1}{\tau}\left(\frac{T_{\text{☾}}}{T_\oplus}\right) = 34.\ \text{(4 балла)} \qquad (6)

Ответ: к задаче представляется выражениями (3) и (6).

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Определение времени выдержки фотоаппарата на Луне	8
Определение отношения поверхностных яркостей образов звезды, полученных на Луне и Земле	12

Продолжительность

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998 \cdot 10^8\ \text{м/с}$
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31\ \text{кг} {\cdot} \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} {\cdot} \text{К}^{-1} \cdot \text{моль}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг} {\cdot} \text{с}^{-3} {\cdot} \text{К}^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек – 1 пк = 206265 а.е. $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м
Свеотовой год – 1 св. г. $= 9.461 \cdot 10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72\ \text{км} {\cdot} \text{с}^{-1} {\cdot} \text{Мпк}^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955 \cdot 10^5$ км
Масса – $1.989 \cdot 10^{30}$ кг
Светимость – $3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – $1360\ \text{Вт/м}^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – $600\ \text{Вт/м}^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\, 26'\, 21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974 \cdot 10^{24}$ кг
Средняя плотность – $5.52\ \text{г} {\cdot} \text{см}^{-3}$
Объемный состав атмосферы – $\mathrm{N_2}$ (78%), $\mathrm{O_2}$ (21%), Ar ( $\sim 1\%$ )

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348 \cdot 10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – $3.34\ \text{г} {\cdot} \text{см}^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см⁻³	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина∗
Солнце	$1.989 \cdot 10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302 \cdot 10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869 \cdot 10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут†	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974 \cdot 10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419 \cdot 10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899 \cdot 10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685 \cdot 10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683 \cdot 10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час†	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024 \cdot 10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

∗ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;

† – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см⁻³	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина∗
Земля
Луна	$7.348 \cdot 10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08 \cdot 10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8 \cdot 10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94 \cdot 10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8 \cdot 10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48 \cdot 10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08 \cdot 10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55 \cdot 10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05 \cdot 10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49 \cdot 10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35 \cdot 10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88 \cdot 10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33 \cdot 10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7 \cdot 10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27 \cdot 10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49 \cdot 10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03 \cdot 10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14 \cdot 10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685†	0.7	13.5

∗ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;

† – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;

\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\, \cos\alpha;

\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\, \sin\alpha;

\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};

(1 + x)^n \approx 1 + n\, x;

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [2-1]OMOA[10-11classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [2-2] OMOA[10-11 classes-2021]_Solutions.pdf