Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 7–9 клас — Задача 1. Сосна у обрыва и Луна (для 7-9 классов)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 7-9 класс · 25 април 2021 г.

Условие

Определите расстояние, на котором находилась сосна (спроецировавшаяся на диск Луны в момент суперлуния) от фотографа, автора снимка (см. рис. 1), в момент съемки, если известно, что позже фотографу удалось на месте положения сосны определить ее возраст, который составил 135 лет. График зависимости высоты сосны от ее возраста представлен на рис. 2.

Цветная фотография: огромный диск полной Луны на оранжево-красном небе, справа на переднем плане скалистый обрыв с соснами; одна высокая сосна на вершине обрыва проецируется на диск Луны. — Рис. 1: Луна вблизи горизонта и сосна на обрыве (автор не известен, источник – https://vk.com/club71074290).

График на клетчатой сетке: по горизонтали t, год (деления 0, 20, 40, …, 140), по вертикали h, м (деления 10, 20, 30). Кривая выходит из начала координат, быстро растёт и выходит на насыщение около 32 м к 150 годам. — Рис. 2: зависимость высоты сосны от ее возраста.

Отговори

Решение

Решение.

1. Определим угловые размеры сосны с позиции фотографа, в момент съемки. Для этого будем использовать образ Луны. В условии задачи сказано, что на фотографии Луна запечатлена в фазе суперлуния, т.е. в фазе полнолуния, при этом она располагалась в своем перигее (2 балла). Определим угловой диаметр Луны:

D''_{\text{☾}} = \frac{2\mathfrak{R}_{\text{☾}}}{a_{\text{☾}}\,(1 - \varepsilon_{\text{☾}})} \times 3438' = 32.90',\quad \text{(2 балла)} \qquad (1)

здесь $a_{\text{☾}}$ , $\varepsilon_{\text{☾}}$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты Луны.

2. Далее определим линейный диаметр Луны по фотографии. Трудность в его определении заключается в том, что не ясно, где точно находится геометрический центр видимого диска Луны. Определим его положение. Для этого построим две широкие хорды $AB$ и $DE$ , существенно удаленные друг от друга (см. рис. 3). С помощью линейки определим середины этих хорд – точки $C$ и $F$ . Проведем через эти точки перпендикуляры и найдем их точку пересечения – точку $O$ . Проведем через данную точку диаметр $MN$ . Измерим радиусы Луны $OM = 92$ мм, $ON = 93$ мм, (3 балла). Следовательно линейный диаметр Луны, определенный по фотографии, будет

R_{\text{☾}} = \frac{1}{2}\,(OM + ON) = 92.5\ \text{мм}.\ \text{(2 балла)} \qquad (2)

3. Тогда угловой масштаб фотографии есть

\mu_a = \frac{D''_{\text{☾}}}{2R_{\text{☾}}} = 0.178'/\text{мм}.\ \text{(2 балла)} \qquad (3)

Далее, измерив линейкой высоту сосны на фотографии $h = 98$ мм (2 балла), определим угловой размер сосны:

\xi = \mu_a\,h = 13.34'.\ \text{(2 балла)} \qquad (4)

4. По графику рис. 2 определим линейно высоту сосны – $H = 32$ м (2 балла). Тогда искомое расстояние до сосны было

r = \frac{h}{\xi} \times 3438' = 8250\ \text{м}.\ \text{(3 балла)} \qquad (5)

Ответ: $r = 8250$ м.

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Корректно определен угловой диаметр Луны на момент съемки	4
Правильно определен линейный диаметр Луны по фотографии	5
Корректно определен угловой размер сосны	6
Правильно вычислено расстояние (в пределах окна 8.25±1.00 км) от фотографа до сосны	5

Та же фотография Луны и сосны с построением белыми линиями: хорды AB и DE, их середины C и F, перпендикуляры к хордам, пересекающиеся в центре O, и диаметр MN через O (точка N у точки E). — Рис. 3: к определению радиуса Луны на фотографии.

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Световой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [1-1]OMOA[7-9classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [1-2] OMOA[7-9 classes-2021]_Solutions.pdf