Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 7–9 клас — Задача 2. Свет Полярной звезды и прошлое России (для 7-9 классов)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 7-9 класс · 25 април 2021 г.

Условие

Как известно, параллакс Полярной звезды составляет $\pi''_* = 0.007292''$ . Во времена правления какого царя (князя, императора) Российского государства (см. табл. 1) был излучен свет поверхностью этой звезды, который сегодня мы воспринимаем нашими глазами?

Правитель	Годы правления	Правитель	Годы правления
Олег Вещий	882 ÷ 912	Игорь Рюрикович	912 ÷ 945
Ольга	945 ÷ 959	Святослав Игоревич	959 ÷ 972
Ярополк Святославич	972 ÷ 978	Владимир Святославич	978 ÷ 1015
Ярослав Владимирович Мудрый	1016 ÷ 1054	Изяслав Ярославич	1054 ÷ 1073
Всеволод Ярославич	1078 ÷ 1093	Святополк Изяславич	1093 ÷ 1113
Владимир Всеволодович Мономах	1113 ÷ 1125	Мстислав Владимирович Великий	1125 ÷ 1132
Ярополк Владимирович	1132 ÷ 1139	Юрий Владимирович Долгорукий	1149 ÷ 1157
Рюрик Ростиславич	1173 ÷ 1210	Александр Ярославич Невский	1249 ÷ 1263
Иван IV Васильевич Грозный	1547 ÷ 1584	Федор I Иванович	1584 ÷ 1598
Михаил Федорович	1613 ÷ 1645	Алексей Михайлович	1645 ÷ 1676
Петр I Великий	1682 ÷ 1725	Елизавета Петровна	1741 ÷ 1761
Екатерина II Великая	1762 ÷ 1796	Александр I	1801 ÷ 1825
Николай I	1825 ÷ 1855	Александр II	1855 ÷ 1881
Александр III	1881 ÷ 1894	Николай II	1894÷ 1917

Таблица 1: правители Российского государства.

Отговори

Решение

Решение.

1-2. Определим расстояние до Полярной звезды с использованием годичного параллакса $\pi''_* = 7.292\cdot10^{-3''}$ .

r_* = \frac{1}{\pi''_*} = 137.137\ \text{пк}\,\text{(5 баллов)} = 447.1\ \text{св. лет}.\,\text{(3 балла)} \qquad (6)

При записи последнего учтено, что 1 пк=3.26 св. года (2 балла).

3-4. Из (6) следует, что свет, который мы сегодня воспринимаем глазами, оторвался от поверхности звезды 447 лет тому назад (2 балла), т.е. в 1574 году (3 балла).

5. Из таблицы 1 видно, данный год приходится на правление Ивана Грозного (5 баллов).

Ответ: Иван Грозный.

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Корректный расчет расстояния до Полярной звезды в парсеках	5
Учет связи светового года и парсека + перевод расстояния в св.г.	2+3
Правильный вывод о количестве пройденных лет с момента рассматриваемого события	2
Определение искомого года в земном летоисчислении	3
Определение правителя Российского государства по таблице	5

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Световой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [1-1]OMOA[7-9classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [1-2] OMOA[7-9 classes-2021]_Solutions.pdf