Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 7–9 клас — Задача 3. Исчезновение Солнца и орбитальное движение Земли (для 7-9 классов)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 7-9 класс · 25 април 2021 г.

Условие

Предположим, что в некоторый момент времени Солнце внезапно исчезло. Через какой минимальный промежуток времени после исчезновения земляне смогут узнать об этом? Определите расстояние, которое пройдет Земля по орбите, от момента исчезновения Солнца до момента ее схода со своей орбиты. Какую долю оно будет составлять от длины земного меридиана (полуокружности)? По какой траектории будет двигаться Земля после схода со своей настоящей орбиты? Настоящую орбиту Земли считать круговой, гравитационными возмущениями классических планет и прочих тел Солнечной системы на орбитальное движение Земли пренебречь.

Отговори

Решение

Решение.

1. Если Солнце исчезло в момент времени $t_0 = 0$ , то свет, оторвавшийся от его поверхности в последний момент перед исчезновением, дойдет до поверхности Земли за время:

\tau_0 = \frac{a_{\oplus}}{c} = 499\ \text{с},\quad \text{(3 балла)} \qquad (7)

здесь $a_{\oplus}$ – радиус (большая полуось) земной орбиты, $c$ – скорость света. Спустя указанное время после исчезновения, солнечный свет перестанет приходить к поверхности Земли и земляне узнают об исчезновении Солнца (2 балла).

2. После исчезновения Солнца исчезнет и сила притяжения, действующая на Землю со стороны Солнца. Согласно первому закону Ньютона, Земля в момент исчезновения гравитационного поля Солнца начнет двигаться по прямой, со скоростью, равной орбитальной скорости движения Земли и, таким образом сойдет со своей орбиты (3 балла).

3-4. Поскольку гравитационное взаимодействие распространяется в пространстве со скоростью света, то на орбите Земли гравитационное поле Солнца исчезнет спустя время $\tau_0$ . Следовательно за время $\tau_0$ Земля пройдет по орбите путь

S = V_{\oplus}\,\tau_0,\ \text{(3 балла)} \qquad (8)

здесь $V_{\oplus}$ – средняя орбитальная скорость Земли, которую можно представить в виде:

V_{\oplus} = \frac{2\pi a_{\oplus}}{T_{\oplus}} = 29.78\ \text{км/с}.\,\text{(3 балла)} \qquad (9)

Из (8) и (9) следует, что $S$ =14860 км (2 балла).

5. Длина земного меридиана (полуокружности) радиуса $\mathfrak{R}_{\oplus}$ составляет

L = \pi\mathfrak{R}_{\oplus} = 20015\ \text{км}.\,\text{(2 балла)} \qquad (10)

Искомая доля тогда $\eta = \frac{S}{L} = 0.74$ или 74% (2 балла).

Ответ: $\tau_0 = 499\ c; \eta = 0.74$ или 74%.

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Расчет времени распространения света от Солнца до Земли + отождествление его с искомым минимальным промежутком времени	3+2
Корректное определение типа орбиты Земли (с упоминанием первого закона Ньютона) после исчезновения гравитационного поля Солнца	3
Правильное определение формулы для пройденного пути+ его численный расчет	3+2
Правильный расчет орбитальной скорости Земли	3
Корректный расчет длины меридиана + искомого отношения $\eta$	2+2

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Световой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [1-1]OMOA[7-9classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [1-2] OMOA[7-9 classes-2021]_Solutions.pdf